Kvasi-konveks funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. marts 2017; checks kræver 3 redigeringer .

En kvasi-konveks funktion er en generalisering af begrebet en konveks funktion , som har fundet bred anvendelse i ikke- lineær optimering , især ved anvendelse af optimering til økonomi .

Definition

Lad X være en konveks delmængde af . En funktion kaldes kvasi-konveks eller unimodal, hvis følgende ulighed gælder for vilkårlige elementer og : $\mathbb {R} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {R}$ $x,y\in X$ $\lambda \in [0,1]$

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big (}f(x),f(y){\big )}.$

Hvis også: ${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big (}f(x),f(y){\big )))$

for og så siges funktionen at være strengt kvasi-konveks . $x\neq y$ $\lambda \in(0,1)$

En funktion kaldes kvasi- konkav (strengt kvasi-konkav), hvis den er kvasi-konveks (strengt kvasi-konveks). $f:X\to \mathbb {R}$ $-f$

På samme måde er en funktion kvasi-konkav if

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

og strengt kvasi-konkav hvis

f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

En funktion, der er både kvasi-konveks og kvasi-konkav, kaldes kvasi -lineær .

Eksempler

En vilkårlig konveks funktion er kvasi-konveks, en vilkårlig konkav funktion er kvasi-konkav.
Funktionen er kvasi-lineær på mængden af positive reelle tal . $f(x)=\ln x$
Funktionen er kvasi-konkav på mængden (sættet af par af ikke-negative tal), men er hverken konveks eller konkav. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))$ $\mathbb {R} _{+}^{2},$
Funktionen er kvasi-konveks og er hverken konveks eller kontinuerlig . $x\mapsto \lfloor x\rfloor$

Egenskaber

Funktionen , hvor er en konveks mængde , er quasi-konveks hvis og kun hvis for hele mængden $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\beta \in \mathbb {R} ,$

${\displaystyle X_{\beta }=\{x\in X|f(x)\leqslant \beta \))$ konveks

Bevis. Lad sættet være konveks for enhver β. Vi fikser to vilkårlige punkter og betragter punktet Points at . Da mængden er konveks, er , og derfor, det vil sige, uligheden givet i definitionen opfyldt, og funktionen er kvasi-konveks.

{\displaystyle X_{\beta ))

x_1, x_2\in X

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).

{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))

{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))

{\displaystyle X_{\beta ))

\;x\in X_{\beta }

f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},

Lad funktionen f være kvasi-konveks. For nogle fikser vi vilkårlige punkter derefter . Da X er en konveks mængde, så for ethvert punkt . Det følger af definitionen af kvasi-konveksitet , at dvs. Otzhe, er et konveks sæt.

\beta \in \mathbb {R}

x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.

\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

\lambda \in(0,1)

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X

f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

x\in X_{\beta }

{\displaystyle X_{\beta ))

En kontinuerlig funktion , hvor X er en konveks sat i , er kvasi-konveks, hvis og kun hvis en af følgende betingelser er opfyldt: $f:X\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

f er ikke-faldende;
f - ikke-stigende;
der er et punkt sådan, at funktionen f for alle er ikke-stigende, og for alle er funktionen f ikke-faldende. $c\in X$ $t\in X,t\leqslant c,$ $t\in X,t\geqslant c,$

Differentierbare kvasi-konvekse funktioner

Lad være en differentierbar funktion på X , hvor er et åbent konveks sæt. Så er f kvasi-konveks på X, hvis og kun hvis relationen holder: $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$

f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0

for alle .

x,y\in X

Lad f være en to gange differentierbar funktion. Hvis f er kvasi-konveks på X, er følgende betingelse opfyldt:

\left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,

for alle .

x\in X,y\in \mathbb {R} ^{n}

Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for kvasi-konveksitet og kvasi-konkavitet kan også gives i form af den såkaldte afgrænsede hessiske matrix . For funktionen definerer vi determinanterne for : $f(x_{1},\ldots,x_{m})$ $1\leqslant n\leqslant m$

$D_{n}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial f}{\partial x_{2))} &\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\ cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{2} }}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n} \,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{vmatrix}}$

Så er udsagnene sande:

Hvis funktionen f er kvasi-konveks på en mængde X , så er D n (x) ≤ 0 for alle n og alle x fra X .
Hvis funktionen f er kvasi-konkav på mængden X , så er D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 for alle x med X .
Hvis D n (x) ≤ 0 for alle n og alle x med X , så er funktionen f kvasi-konveks på mængden X .
Hvis D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 for alle x med X , er funktionen f kvasi-konkav på mængden X .

Operationer, der bevarer kvasi-konveksitet

Det maksimale af vægtede kvasi-konvekse funktioner med ikke-negative vægte, dvs.

f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace

hvor

w_{i}\geqslant 0

en sammensætning med en ikke-aftagende funktion (hvis er kvasi-konveks, er ikke-aftagende, så er den kvasi-konveks). $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $f=h\circ g$
minimering (hvis f(x, y) er kvasi-konveks, C er en konveks mængde, så er den kvasi-konveks). $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$

Litteratur

Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, tredje udgave, McGraw Hill Book Company, 1984.