Funktionær (matematik)

En funktor er en speciel type kortlægning mellem kategorier . Det kan forstås som en strukturbevarende kortlægning. Funktioner mellem små kategorier er morfismer i kategorien små kategorier . Samlingen af alle kategorier er ikke en kategori i sædvanlig forstand, da samlingen af dens objekter ikke er en klasse . En måde at overvinde sådanne set-teoretiske vanskeligheder på er at tilføje et uafhængigt aksiom til ZFC om eksistensen af uopnåelige kardinaler .

For første gang begyndte man at overveje funktorer i algebraisk topologi , hvor algebraiske objekter (for eksempel den fundamentale gruppe ) er forbundet med topologiske rum , og homomorfismer mellem disse objekter er forbundet med kontinuerlige kortlægninger . Efterfølgende er funktorer blevet udbredt inden for mange områder af matematikken og bruges til at forbinde forskellige kategorier.

Udtrykket "functor" blev lånt af matematikere fra filosoffen Rudolf Carnaps værker [1] , mens ordet "functor" i Carnap refererede til et sprogligt begreb [2] .

Definition

En (kovariant) funktor fra kategori til kategori er en kortlægning, der: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$

kortlægger hvert objekt til et objekt $X\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(X)\i {\mathcal {D}},$
tilknytter hver morfisme i kategorien en morfisme i kategorien . Denne kortlægning skal have følgende egenskaber: $f:X\til Y$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Således skal funktoren bevare identitetsmorfismer og strukturen af sammensætningen af morfismer.

På samme måde er en kontravariant funktion et kort, der vender pile (det vil sige tildeler en morfisme til en morfisme ), bevarer identiske morfismer og opfylder ligheden: $f:X\til Y$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

En kontravariant funktor kan også defineres som en kovariant funktor fra den dobbelte kategori . Nogle forfattere foretrækker at skrive alle udtryk kovariant, og i stedet for ordene "kontravariant funktion fra til " siger de "funktion fra til " (eller nogle gange "funktion fra til "). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifunktioner og multifunktioner

En bifunktør er en funktion af to argumenter. Et naturligt eksempel er Hom-funktionen , som er kovariant i et argument og kontravariant i et andet.

Formelt defineres bifunctors som funktorer fra produktkategorien . For eksempel har en funktor formen . ${\mathrm {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\ gange {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}$

En multifunktion er en generalisering af begrebet en bifunktion på variabler. $n$

Eksempler

For at specificere en funktor skal man definere dens handling ikke kun på kategoriobjekter, men også (vigtigere) på morfismer: der er forskellige funktorer, der virker på samme måde på objekter, f.eks. identitetsfunktøren og anti -identitetsfunktionen der vender pile om.

Lad være en underkategori i kategorien . I dette tilfælde er indlejringsfunktionen defineret , som virker på objekter og morfismer som de tilsvarende klasseindlejringer . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Konstant funktor: En funktor, der knytter hvert kategoriobjekt til et objekt med fast kategori , og hver morfi til det pågældende objekts identitetsmorfi. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$

Endofunctors er enhver funktionor fra en kategori ind i sig selv.

Dobbelt vektorrum : En mapping, der tildeler hvert vektorrum dets dobbelte og til hver lineære mapping dets dobbelte (eller transponerede) mapping, er en kontravariant endofunctor på kategorien af vektorrum.

Lad være en specifik kategori , det vil sige en kategori udstyret med en univalent functor i kategorien af sæt (et specialtilfælde af den glemsomme funktor ). Ved hjælp af denne funktion associeres mængder med objekter i en kategori, og man kan tænke på morfismer som funktioner på disse sæt, der bevarer yderligere struktur (eksempel: kategori af grupper , kategori af ringe , kategori af sæt ). Den venstre adjoint (hvis den findes) til en glemsom funktion er en fri objektfunktion (eksempel: gratis modul ). ${\mathcal {C}}$

Presheaves : lad være et topologisk rum , så danner åbne delmængder et delvist ordnet sæt med hensyn til inklusion, betegnet med . Som med enhver sætning kan man tilknytte en kategori ved at tilføje en enkelt morfisme , hvis og kun hvis . Kontravariante funktorer fra kaldes presheaves . For eksempel er der en funktion i kategorien reelle algebraer , der forbinder et åbent sæt med en algebra af reelle værdifulde kontinuerte funktioner på det. $x$ $x$ $OKSE)$ $OKSE)$ $U til V$ $U\subseteq V$ $OKSE)$

Fundamental gruppe : hvert topologisk rum med et markeret punkt kan associeres med en fundamental gruppe, hvis elementer er sløjfeækvivalensklasser op til homotopi . Hvis er en morfisme af rum med et markeret punkt (en kontinuerlig kortlægning, der tager et markeret punkt af det første rum til et markeret punkt i det andet), kan hver sløjfe fra punktet associeres med sit billede, som er en sløjfe fra punkt . Denne kortlægning er i overensstemmelse med ækvivalensklasser og med sammensætningens funktion, og er derfor en homomorfi fra til . Det er nemt at kontrollere, at alle andre egenskaber for en kovariant funktion fra kategorien topologiske rum med markeret prik til kategorien af grupper holder . $x$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\til (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi (X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Tangent- og cotangensbundt : et kort, der forbinder en glat manifold med dens tangentbundte og en diffeomorfi af manifolder med dens differential , er en kovariant funktor fra kategorien af glatte manifolder og diffeomorfismer til kategorien af vektorbundter . På samme måde definerer cotangensbundtet og codifferentialet af en diffeomorfisme en kontravariant funktion. Betragtning af tangentrummet ved et fast punkt definerer en kovariant funktionor fra kategorien af glatte manifolds med et markeret punkt og glatte afbildninger til kategorien af vektorrum.

Tensorprodukt : hvis er en kategori af vektorrum over et fast felt, definerer tensorproduktet af to rum en funktion , der er kovariant i begge argumenter [3] . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\ gange {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

Simplicielle objekter er vilkårlige kontravariante funktioner fra en forenklet kategori til forskellige kategorier (til kategorien af mængder - et forenklet sæt , til kategorien af grupper - en forenklet gruppe og andre); konstruktioner, der generaliserer forestillingen om et simpelt kompleks, spiller en vigtig rolle i algebraisk topologi.

En funktor tildeler et felt dens absolutte Galois-gruppe og til en felthomomorfi den tilsvarende $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $Gal({\bar F}/F)$ [ klargør ] homomorfi af Galois-grupper.

Egenskaber

Funktionen tager kommutative diagrammer til kommutative diagrammer.
Funktoren tager isomorfismer til isomorfismer.
Sammensætningen af to funktorer er også en funktor. Funktionssammensætning er en associativ operation (hvor den er defineret), så funktorer mellem små kategorier opfylder alle egenskaberne for morfismer i kategorien.

En kategori af et objekt er det samme som en monoid : morfismerne i den svarer til elementerne i monoiden, og operationen af sammensætning af morfismer svarer til operationen defineret i monoiden. Funktioner mellem kategorier med et objekt svarer en-til-en til monoide homomorfismer; derfor er en funktor i en vis forstand en generalisering af begrebet en homomorfi af monoider til "monoider, hvor sammensætningens funktion ikke er defineret overalt".

Forbindelse med andre kategoriske begreber

Lad og vær kategorier. Sættet af alle morfismer kan betragtes som sættet af objekter af en anden kategori: kategorien af funktorer . Morfismer i denne kategori er naturlige transformationer af funktorer. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

Funktioner er ret ofte specificeret ved hjælp af universelle egenskaber , eksempler inkluderer tensorprodukter , produkter af grupper, sæt eller vektorrum, direkte og omvendte grænser. Også universelle konstruktioner definerer ofte et par sammenstødende funktorer .

Noter

↑ McLane, 2004 , s. 42.
↑ Carnap R. Sprogets logiske syntaks. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - S. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebraer, ringe og moduler. Vol. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 s. - (Mathematics and Its Applications, vol. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - S. 99-100.

Litteratur

Bucur I., Delyanu A. . Introduktion til teorien om kategorier og funktioner. — M .: Mir , 1972. — 259 s.
Maclain S. Kapitel 2. Konstruktioner i kategorier // Kategorier for en arbejdende matematiker. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Grundlæggende om kategoriteori. — M .: Nauka , 1974. — 256 s.