Enkelt sæt

Et simplicialt sæt (i tidlige kilder - et semi- simplicit kompleks ) er en kategoriteoretisk konstruktion, der generaliserer begrebet et simplicialt kompleks og i en vis forstand modellerer begrebet et topologisk rum med "gode" egenskaber: homotopien teori for simple mængder svarer til den klassiske homotopi teori for topologiske rum. Det er en rent algebraisk konstruktion, der giver næsten fuldstændig parallelitet med geometriske objekter; i denne henseende betragtes det som et af de vigtigste objekter i algebraisk topologi, både fra et metodologisk og instrumentelt synspunkt [1] .

Fra et kategoriteoretisk synspunkt defineres det som et forenklet objekt fra kategorien af mængder , eller tilsvarende, som et forskud af en forenklet kategori ind i kategorien af mængder.

Definitioner og struktur

Et simplicialt sæt er en kontravariant funktion fra en simplicial kategori til kategorien af sæt :. $x$ $\Delta ^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Set}}$

Da enhver morfisme af en forenklet kategori er genereret af morfismer og ( ) defineret som [2] : $\delta _{i}^{n}:[n-1]\til [n]$ $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\til [n]$ $0\leq i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}

så kan det simple sæt konstrueres som et system af de lag forbundet med de tilsvarende ( dobbelt til og ) afbildninger og opfylder relationerne: $n$ $X_n$ $\delta$ $\sigma$ $d_{i}^{n}:X_{n}\til X_{{n-1}}$ $s_{i}^{n}:X_{n}\til X_{{n+1}}$

d_{i}^{n}d_{j}^{{n+1}}=d_{{j-1}}^{n}d_{i}^{{n+1}}

, hvis ,

i<j

{\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1))

, hvis ,

i\leqslant j

d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i <j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1} d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}

Lagets punkter kaldes -dimensionelle simplicer , desuden kaldes lagets punkter hjørner , og lagets punkter kaldes kanter. Morfismer kaldes ansigtsoperatorer , og morfismer kaldes degenerationsoperatorer . $X_n$ $n$ $X_{0}$ $X_{1}$ $d_{i}^{n}$ $s_{j}^{n}$

En simplicial mapping er en (funktions)morfisme mellem simplicial sæt , en simplicial mapping kan også betragtes som en samling af lag , desuden gælder det: $f:X\til X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$

{\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n))

( ),

0\leq i\leq n

s_{i}^{n}f_{n}=f_{{n+1}}s_{i}^{n}

( ).

0\leq i\leq n

En simplicial mængde kaldes en simplicial delmængde , hvis alle fibrene i det simplicial kort er injektiv ; i dette tilfælde er ansigtsoperatørerne og degenerationsoperatørerne i restriktioner for de tilsvarende operatører for . $x$ $X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$ $f:X\til X'$ $x$ $X'$

Et forenklet faktorsæt er en konstruktion opnået ved lag-for-lag faktorisering af et forenklet sæt, det vil sige et sæt lag , desuden induceres fladeoperatorer og degenereringer af faktorlagslag af de tilsvarende sætoperatorer . $X/\sigma$ $X_{n}/\sigma$ $x$

Simplicial sæt med alle mulige simplicial mappings mellem dem danner en kategori [3] . ${\mathbf {Sæt}}^{{\Delta ^{{\mathrm {op}}}}}$

Motivation

Eksempler

Egenskaber

Kategorien af simple sæt tillader direkte og omvendte grænser, som kan beregnes lag for lag. Især for alle simple sæt og det direkte produkt og den direkte sum (separat forening) defineres desuden for alle lag: $x$ $X'$ $X\ gange X'$ $X\plus X'$

(X\ gange X')_{n}=X_{n}\ gange X'_{n}

(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}

Geometrisk realisering

Cosimplicielt sæt

Det dobbelte koncept af en cosimplicial mængde bruges også - en funktion fra en simplicial kategori til kategorien af mængder: . Kosimplicielle sæt har en lignende lagdelt struktur med ansigts- og degenerationsoperatorer (dobbelt til de tilsvarende simple sætoperatorer) og danner kategorien . $\Delta \to {\mathbf {Sæt}}$ ${\mathbf {Sæt}}^{\Delta }$

Noter

↑ Gabriel, Tsisman, 1971 , ... Vi mener eksistensen af næsten fuldstændig parallelisme (udtrykt i ækvivalensen af de tilsvarende kategorier) mellem homotopi-teorien om topologiske rum og den analoge teori om simple mængder - objekter, i det væsentlige, rent algebraiske . Teorien om simple mængder er på den ene side af stor metodologisk betydning, idet den tydeliggør den logiske og konceptuelle karakter af grundlaget for algebraisk topologi, og på den anden side spiller den rollen som et af de mest kraftfulde værktøjer til topologisk forskning ... (fra forordet til M. M. Postnikov), s. 5.
↑ Simplicial object - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malygin S. N., Postnikov M. M.
↑ Kilder fra 1970'erne bruger notationen . Notationen bruges også $\Delta ^{\circ }{\mathcal E}ns$ ${\mathbf {sSet}}$

Litteratur

Gabriel P., Tsisman M. Brøkkategorier og homotopi-teori = Brøkregning og Homotopi-teori / Oversat fra engelsk af M. M. Postnikova. — M .: Mir , 1971. — 296 s.
Simplicial set - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malygin S. N., Postnikov M. M.
McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .