Presheaf (kategoriteori)

En presheaf i kategoriteori er en konstruktion, der generaliserer det topologiske begreb om en presheaf .

Formelt set er en presheaf på en kategori med værdier i kategorien en functor , det vil sige en kontravariant functor fra til . Oftest betragtes presheaves med værdier i kategorien sæt . Hvis er et delvist ordnet sæt af åbne sæt af et topologisk rum ved inklusion, så definerer en kategorisk presheaf en presheaf på et topologisk rum i den betydning, der bruges i teorien om skiver . $F$ $C$ $V$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$ $C$ $V$ $C$

Morfismer mellem presheaves kan defineres som naturlige transformationer af funktorer. Dette giver os mulighed for at overveje kategorien af funktioner . En functor in kaldes en profunctor . ${\widehat {C}}=\mathbf {Sæt} ^{C^{\mathrm {op} }}$ ${\widehat {C))$

Et forhylde, der er naturligt isomorft med funktiontoren Hom , for et eller andet objekt i kategorien kaldes et repræsentabelt forhylde . $\mathrm {Hom} (-,A)$ $EN$ $C$

Et udbredt eksempel på en presheaf i kategoriteoretisk forstand er et simplicialt sæt , der er et presheaf på en simplicial kategori med værdier i kategorien sæt. $\Delta$

Egenskaber

Hvis det er en lille kategori , så er kategorien af skiver på den kartesisk lukket , og endda en topos . Den er også komplet og komplet . $C$ ${\widehat {C}}=\mathbf {Sæt} ^{C^{\mathrm {op} }}$
En lokalt lille kategori tillader en komplet og univalent indlejring i kategorien af skiver på den med værdier i - Yoneda-indlejringen . ${\mathbf {Sæt}}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , "Skive i Geometry and Logic" (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4