En specifik kategori i matematik er en kategori udstyret med en streng funktion i kategorien af sæt . Takket være denne funktion kan du operere på objekter i denne kategori på samme måde som at arbejde med sæt med ekstra struktur og repræsentere morfismer som funktioner, der bevarer yderligere struktur. Mange kategorier har en åbenlys fortolkning af konkrete kategorier, såsom kategorien af grupper, kategorien af topologiske rum og kategorien af egentlige mængder. På den anden side er der uspecificerede kategorier; for eksempel er homotopi -kategorien af topologiske rum ikke-inkrementel, det vil sige, at den ikke tillader en streng funktor i kategorien af sæt.
En konkret kategori er et par ( C , U ), sådan at:
Functor U er en glemsom funktion , der forbinder et kategoriobjekt med dets "bæresæt".
En kategori C er konkretiserbar , hvis der er en streng funktion fra den til kategorien af sæt. Især alle små kategorier er instantiérbare: en funktor U kan defineres som en funktor, der sender et objekt b af kategori C til sættet af alle pile f : a → b (for alle mulige objekter a ), og en morfisme g : b → c af kategori C til en morfisme U ( g ): U ( b ) → U ( c ), som afbilder pilen f : a → b til sammensætningen gf : a → c .
I modsætning til intuition er "konkrethed" ikke en egenskab, som en kategori måske eller måske ikke har, men en yderligere struktur, som den kan udstyres med, og en kategori kan også tillade flere strenge funktioner i et sæt . Men i praksis er denne funktion normalt indlysende.
Kravet om, at U skal være streng betyder, at den kortlægger forskellige morfismer med fast billede og preimage til forskellige funktioner på sæt. Den kan dog "lime" forskellige kategoriobjekter, og hvis den gør det, vil den kortlægge forskellige morfismer til en enkelt funktion.
For eksempel, hvis S og T er to forskellige topologier på det samme sæt X , så er ( X , S ) og ( X , T ) forskellige objekter i kategorien Top af topologiske rum og kontinuerlige afbildninger, men de er afbildet til det samme sæt X under handlingen glemsom funktion Top → Indstil . Desuden forstås identitetsmorfismer ( X , S ) → ( X , S ) og ( X , T ) → ( X , T ) som forskellige morfismer i Top , men de svarer til den samme funktion, nemlig identitetsfunktionen på X .
En kategori kaldes ikke-inkrementel, hvis der ikke er en streng funktion fra den til kategorien af sæt.
For eksempel er kategorien hTop , hvis objekter er topologiske rum, og hvis morfismer er klasser af homotopiske funktioner, ikke instantiérbar. Selvom objekterne i denne kategori kan repræsenteres som mængder, er morfismerne i den ikke funktioner, men derimod klasser af funktioner. Fraværet af en streng funktor fra hTop i Set blev bevist af Peter Freud i 1970 . Tidligere har det vist sig, at kategorien af alle små kategorier og naturlige transformationer er ikke-konkret.