Tetraedrisk symmetri

Involutionssymmetri C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Tetraedrisk symmetri T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

Et regulært tetraeder har 12 rotations- (orienteringsbevarende) symmetrier og [ symmetrier af størrelsesorden 24, der involverer en kombination af refleksioner og rotationer.

Gruppen af ​​alle symmetrier er isomorf med gruppen S 4 , den symmetriske permutationsgruppe af fire elementer, da der er nøjagtig en sådan symmetri for hver permutation af tetraederens hjørner. Sættet af orienteringsbevarende symmetrier danner en gruppe, som er en alternerende undergruppe A4 af gruppen S4 .

Detaljer

Chiral og total (eller achiral tetraedrisk symmetri og pyritoedrisk symmetri ) er diskrete punktsymmetrier (eller tilsvarende symmetrier på en kugle ). De er inkluderet i de krystallografiske symmetrigrupper af den kubiske sigoni .

I stereografisk projektion danner kanterne af tetrakishexahedron 6 cirkler (eller centrale radiale linjer) på planet. Hver af disse cirkler repræsenterer et spejl i tetraedrisk symmetri. Skæringspunktet mellem disse cirkler giver rotationspunkter af orden 2 og 3.

ortogonal projektion	Stereografisk projektion
	4 gange	3x	2 gange
Chiral tetraedrisk symmetri, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Pyritoedrisk symmetri, T h , (3*2), [4,3 + ],
Achiral tetraedrisk symmetri, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Chiral tetraedrisk symmetri

T , 332 , [3,3] + , eller 23 af orden 12 - chiral eller roterende tetraedrisk symmetri . Der er tre ortogonale 2-foldede rotationsakser, som den chirale dihedrale symmetri D 2 eller 222, og fire yderligere 3-foldede akser. Denne gruppe er isomorf til A4 , en vekslende gruppe af 4 grundstoffer. Faktisk er dette en gruppe af lige permutationer af fire 3-foldede akser: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Konjugationsklasserne af T er:

• identitet
• 4 × 120° rotation med uret (set fra toppen): (234), (143), (412), (321)
• 4 × 120° rotation mod uret (samme)
• 3 × 180° rotation

Rotationer gennem 180° danner sammen med identitetstransformationen en normal undergruppe af type Dih 2 med en faktorgruppe af type Z 3 . De tre elementer i sidstnævnte er den identiske transformation, "rotation med uret" og "rotation mod uret", svarende til permutationer af tre ortogonale 2-foldede akser, mens orienteringen bevares.

A 4 er den mindste gruppe, der viser, at det omvendte til Lagranges sætning ikke er sandt generelt — givet en endelig gruppe G og en divisor d af tallet | G |, der er ikke nødvendigvis en undergruppe af gruppen G med orden d - gruppen G = A 4 ​​har ikke en undergruppe af orden 6.

Undergrupper af chiral tetraedrisk symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ da	G-M	Struktur	Cykler	Bestil	Indeks
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	en
D2 _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		fire	3
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	fire
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	6
C1 _	[ ] +		elleve	en	Z1 _		en	12

Achiral tetraedrisk symmetri

Td , *332 , [3,3] eller 43m af orden 24 er achiral eller komplet tetraedrisk symmetri , også kendt som trekantgruppen (2,3,3). Denne gruppe har de samme rotationsakser som T, men med seks spejlsymmetriplaner, der går gennem hvert par 3-foldede akser. De 2-foldede akser er nu S 4 ( 4 ) akser. T d og O er isomorfe som abstrakte grupper - begge grupper svarer til S 4 , den symmetriske gruppe af 4 elementer. T d er foreningen af ​​T og mængden opnået ved at kombinere hvert element af O \ T med central symmetri. Se også isometri af et regulært tetraeder .

Konjugationsklasserne af T d er:

• identitet
• 8 × 120° rotation
• 3 × 180° rotation
• 6 × refleksion om et plan, der passerer gennem to rotationsakser
• 6 × 90° spejldrejning

Undergrupper af achiral tetraedrisk symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ da	G-M	Struktur	Cykler	Bestil	Indeks
T d	[3,3]		*332	43m _	S4 _		24	en
C 3v	[3]		*33	3m	Dih 3 = S 3		6	fire
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		fire	6
Cs _	[ ]		*	2 eller m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42m _	Dih 4		otte	3
S4 _	[2 + ,4 + ]		2×	fire	Z4 _		fire	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 2		fire	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 = A3 _		3	otte
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		elleve	en	Z1 _		en	24

Pyritoedrisk symmetri

Th , 3*2 , [ 4,3+ ] eller m3 af orden 24- pyrithedral symmetri . Denne gruppe har de samme rotationsakser som T med spejlplaner gennem to ortogonale retninger. De 3-foldede akser er nu S 6 ( 3 ) akser, og der er central symmetri. T h er isomorf til T × Z 2 - hvert element i Th er enten et element af T eller et element kombineret med central symmetri. Ud over disse to normale undergrupper er der endnu en normal undergruppe D 2h ( rektangulær parallelepipedum ), af typen Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Det er et direkte produkt af en normal undergruppe T (se ovenfor) med Ci . Faktorgruppen er den samme som ovenfor - Z 3 . De tre elementer i sidstnævnte er identitetstransformationen, "rotér med uret" og "roter mod uret", svarende til permutationer af tre ortogonale 2-foldede akser med bevaret orientering.

Dette er symmetrien af ​​en terning, hvor hver flade er delt af et segment i to rektangler, og ingen to segmenter har spidser på den samme kant af terningen. Symmetrier svarer til lige permutationer af kubens diagonaler sammen med en central inversion. Symmetrien af ​​pentagondodecahedron er ekstremt tæt på symmetrien af ​​terningen beskrevet ovenfor. Et pyritohedron kan fås fra en terning med halverede flader ved at erstatte rektangler med femkanter med en symmetriakse og 4 lige store sider, den ene side er forskellig i længden (den der svarer til det segment, der halverer terningens kvadratiske side). Det vil sige, at terningens flader rager frem langs det skillende segment, og selve segmentet bliver mindre. Den opdelte flade terningssymmetri er en undergruppe af den fulde icosaedriske symmetrigruppe (som en isometrigruppe, ikke blot en abstrakt gruppe) med 4 ud af 10 3-foldede akser.

Konjugationsklasser T h omfatter konjugationsklasser T med kombinationer af to af de 4 klasser, samt hver c-klasse med central symmetri:

• identitet
• 8 × 120° rotation
• 3 × 180° rotation
• central symmetri
• 8 × 60° spejldrejning
• 3 × spejlende refleksion (i forhold til planet)

Undergrupper af pyrithedral symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ da	G-M	Struktur	Cykler	Bestil	Indeks
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × 2		24	en
D2h _	[2,2]		*222	hmmm	Dih 2 × Dih 1		otte	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		fire	6
Cs _	[ ]		*	2 eller m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		fire	6
S2 _	[2 + ,2 + ]		×	en	2 eller Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3 _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	fire
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 4		fire	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	otte
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		elleve	en	Z1 _		en	24

Kropper med chiral tetraedrisk symmetri

Ikosaederet, farvet som et snubt tetraeder , har chiral symmetri.

Faste stoffer med fuld tetraedrisk symmetri

Se også

• Oktaedrisk symmetri
• Ikosaedrisk symmetri
• Binær gruppe af tetraeder

Noter

Litteratur

• P. Cromwell. Polyeder. - Storbritannien: Cambridge University Press, 1997. - S. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Kapitel 11: Finite symmetrigrupper // Geometrier og transformationer. – 2015.

Links

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .