Sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. november 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Sætning - ( oldgræsk Θεώρημα , fra anden græsk Θεώρηώ - jeg argumenterer [2] ) en matematisk erklæring, hvis sandhed er fastslået ved bevis . Beviser for sætninger er baseret på tidligere beviste sætninger og generelt accepterede udsagn ( aksiomer ) [3] .

Sætningen er en logisk konsekvens af aksiomerne. Beviset for en matematisk sætning er et logisk argument for udsagnet af en sætning givet i henhold til reglerne i et formelt system . Beviset for en sætning tolkes ofte som en begrundelse for sandheden af sætningens udsagn. I lyset af kravet om, at sætninger skal bevises, er begrebet sætning grundlæggende deduktivt i modsætning til begrebet en videnskabelig lov , som er eksperimentelt [4] .

Mange matematiske teoremer er betingede udsagn. I dette tilfælde drager beviset en konklusion fra forhold kaldet hypoteser eller præmisser . I lyset af fortolkningen af beviser som begrundelse for sandheden, ses konklusionen ofte som en nødvendig konsekvens af hypoteser , nemlig at konklusionen er sand, hvis hypoteserne er sande, uden yderligere antagelser. Betingelser kan dog fortolkes forskelligt i nogle deduktive systemer , afhængigt af betydningerne tildelt slutningsreglerne og betingelsessymbolet.

Mens sætninger kan være skrevet i en helt symbolsk form, såsom med propositionalregning , er de ofte udtrykt i naturligt sprog (engelsk, russisk, fransk osv.). Det samme gælder beviser, som ofte udtrykkes som en logisk organiseret og velformuleret kæde af uformelle argumenter, der er designet til at overbevise læserne om sandheden af sætningens udsagn, hvorfra et formelt symbolsk bevis i princippet kan bygges. Sådanne argumenter har en tendens til at være lettere at teste end rent symbolske, og faktisk går mange matematikere ind for et bevis, der ikke kun demonstrerer sætningens gyldighed, men også på en eller anden måde forklarer, hvorfor det åbenlyst er sandt. I nogle tilfælde er ét billede nok til at bevise sætningen.

Fordi teoremer er kernen i matematikken, spiller de også en central rolle i dens æstetik. Sætningerne beskrives ofte som "trivielle", "hårde", "dybe" eller endda "smukke". Disse subjektive vurderinger varierer ikke kun fra person til person, men også over tid: For eksempel, når et bevis er forenklet eller bedre forstået, kan en teorem, der engang var svær, blive triviel. På den anden side kan en dyb sætning angives enkelt, men dens bevis kan involvere overraskende og subtile forbindelser mellem forskellige områder af matematikken. Et særligt berømt eksempel på en sådan sætning er Fermats sidste sætning .

Uformel sætning af sætninger

Fra et logisk synspunkt tager mange sætninger form af en konvention: hvis A, så B. En sådan sætning hævder ikke sandheden af B , men kun at B er en nødvendig konsekvens af A. I dette tilfælde er A kaldes sætningens logiske hypotese , og B er konklusionen (formelt kaldes A og B de foregående og følgende udsagn). Det skal understreges, at en logisk hypotese og en matematisk hypotese er forskellige begreber. Så udsagnet "Hvis n er et lige naturligt tal, så er n / 2 et naturligt tal" er et eksempel på en sætning, hvor hypotesen er udsagnet " n er et lige naturligt tal", og udsagnet " n / 2 er også et naturligt tal” lyder en konklusion.

For at bevise sætningen skal den udtrykkes som en nøjagtig formel erklæring. Men for læserens bekvemmelighed udtrykkes teoremer normalt ikke i en fuldt symbolsk form, men i naturligt sprog. Læseren omdanner selvstændigt det uformelle udsagn til et formelt.

I matematik er det almindeligt at vælge flere hypoteser og lave en teori , som består af alle de udsagn, der logisk følger af disse hypoteser. De hypoteser, der danner grundlag for en teori, kaldes aksiomer eller postulater . Matematikområdet, der studerer formelle sprog, aksiomer og bevisstrukturen, kaldes bevisteori .

Nogle teoremer er " trivielle " i den forstand, at de på en indlysende måde følger af definitioner, aksiomer og andre teoremer og ikke indeholder nogen overraskende ideer. På den anden side kan nogle sætninger kaldes "dybe", fordi deres beviser kan være lange og svære, involvere områder af matematik, der er overfladisk forskellige fra udsagnet af selve sætningen, eller viser overraskende sammenhænge mellem forskellige områder af matematik. En sætning kan være enkel i præsentationen og samtidig dyb. Et glimrende eksempel på en dyb sætning er Fermats sidste sætning . I talteori og i kombinatorik , såvel som i andre områder af matematikken, er der mange eksempler på simple, men dybe sætninger.

På den anden side er der sætninger, der har et bevis, der ikke kan skrives i en simpel form. De mest slående eksempler på sådanne teoremer er firefarvesætningen og Kepler-hypotesen . Begge disse teoremer er kendt for at være reduceret til en bestemt algoritme, som derefter verificeres af et computerprogram. I starten accepterede mange matematikere ikke denne form for bevis, men nu er det blevet tilladt. Matematikeren Doron Zeilberger hævder endda, at disse måske er de eneste ikke-trivielle resultater, der nogensinde er blevet bevist af matematikere [5] . Mange matematiske teoremer kan reduceres til enklere beregninger, herunder polynomiske identiteter, trigonometriske identiteter og hypergeometriske identiteter [6] .

Sikkerhed og teoremet

For at etablere et matematisk udsagn som en sætning kræves et bevis, det vil sige, at der skal påvises en ræsonnement fra aksiomer i systemet (og andre allerede etablerede sætninger) til den givne sætning. Beviset betragtes dog normalt separat fra sætningens udsagn. Mens mere end ét bevis kan være kendt for en enkelt sætning, kræves der kun ét bevis for at fastslå en erklærings status som en sætning. Pythagoras sætning og loven om kvadratisk gensidighed er konkurrenterne til navnet på sætningen med det største antal forskellige beviser.

Forholdet til videnskabelige teorier

Teoremer i matematik og teorier i videnskab er fundamentalt forskellige i deres epistemologi . En videnskabelig teori kan ikke bevises; dens nøgleegenskab er, at den er falsificerbar , det vil sige, at den laver forudsigelser om den naturlige verden, som kan testes eksperimentelt . Enhver uoverensstemmelse mellem forudsigelse og eksperiment viser, at den videnskabelige teori er forkert, eller i det mindste begrænser dens nøjagtighed eller omfang. Matematiske sætninger er på den anden side rent abstrakte formelle udsagn: Beviset for en sætning kan ikke involvere eksperimenter eller andre empiriske beviser på samme måde, som disse beviser bruges til at understøtte videnskabelige teorier.

Der er dog en vis grad af empiri og dataindsamling involveret i opdagelsen af matematiske teoremer. Ved at opsætte en model, nogle gange ved hjælp af en kraftfuld computer, kan matematikere have en idé om, hvad de skal bevise, og i nogle tilfælde endda, hvordan de skal fortsætte med beviset. For eksempel er Collatz-formodningen blevet testet for begyndelsesværdier op til omkring 2,88 × 10 18 . Riemann-hypotesen er blevet testet for de første 10 billioner nuller af zeta-funktionen . Ingen af disse påstande anses for bevist.

Sådanne beviser er ikke beviser. For eksempel er Mertens-formodningen en falsk udsagn om naturlige tal, men et eksplicit modeksempel er ukendt. Det er kun kendt, at det mindste modeksempel ikke er mindre end 10 14 og ikke mere end 10 4,3 × 10 39 . Det er umuligt at finde et eksplicit modeksempel ved at bruge udtømmende søgning , men det er kendt, at det eksisterer.

Ordet "teori" findes også i matematik for at henvise til en mængde matematiske aksiomer, definitioner og teoremer, såsom gruppeteori . Der er også "sætninger" inden for naturvidenskab, især inden for fysik, og i teknik, men de har ofte udsagn og beviser, hvor fysiske antagelser og intuition spiller en vigtig rolle; de fysiske aksiomer, som sådanne "sætninger" er baseret på, er i sig selv falsificerbare.

Terminologi

Der findes en række forskellige udtryk for matematiske udsagn; disse udtryk angiver den rolle, udsagn spiller i et bestemt emne. Uoverensstemmelsen mellem de forskellige udtryk er nogle gange ret vilkårlig, og med tiden er nogle udtryk blevet mere almindeligt anvendte end andre.

Et aksiom eller postulat er et udsagn, der accepteres uden beviser og anses for grundlæggende for emnet. Historisk set er aksiomer blevet taget for givet, men på det seneste betragtes de som antagelser, der kendetegner studiet. I klassisk geometri er aksiomer generelle udsagn, og postulater er udsagn om geometriske objekters egenskaber [7] . En definition accepteres også uden bevis, da den blot giver betydningen af et ord eller en sætning i form af kendte begreber.

Et ubekræftet udsagn, der menes at være sandt, kaldes en hypotese . For at blive betragtet som en formodning skal udtalelsen normalt tilbydes offentligt, hvorefter navnet på initiativtageren kan knyttes til formodningen, som det er tilfældet med Goldbach-formodningen . Andre bemærkelsesværdige eksempler på formodninger er Collatz-formodningen og Riemann-hypotesen . På den anden side har Fermats sidste sætning altid været kendt under det navn, selv før det blev bevist; det blev aldrig kaldt "Fermats hypotese".
Forslaget er en sætning af mindre betydning. Udtrykket betyder nogle gange et udsagn med et simpelt bevis, mens termsætningen normalt er forbeholdt de vigtigste resultater, eller resultater med lange eller svære beviser. Nogle forfattere bruger aldrig udtrykket "proposition", og andre bruger kun udtrykket "sætning" til grundlæggende resultater. I klassisk geometri blev udtrykket brugt på forskellige måder: i Euklids elementer (ca. 300 f.Kr.) blev alle sætninger og geometriske konstruktioner kaldt "domme" uanset deres betydning.
Et lemma er en "hjælpesætning", et forslag med ringe anvendelighed, som dog er en del af beviset for en større sætning. I nogle tilfælde, når den relative betydning af forskellige sætninger bliver tydeligere, bliver det, der engang blev betragtet som et lemma, nu betragtet som et sætning, selvom ordet "lemma" forbliver i navnet. Eksempler omfatter Gauss ' , Zorns lemma ogfundamentale lemma
Følgen er et udsagn, der følger med få beviser fra en anden sætning eller definition [8] . En konsekvens kan også være en sætning omformuleret til et mere begrænset specialtilfælde . For eksempel har sætningen om, at alle vinkler i et rektangel er rette vinkler , den konsekvens, at alle vinkler i en firkant ( et specialtilfælde af et rektangel) er rette vinkler .
Det modsatte af en sætning er et udsagn dannet ved at ændre, hvad der er givet i sætningen, og hvad der skal bevises. For eksempel siger den ligebenede trekantsætning , at hvis to sider af en trekant er lige store, så er to vinkler lige store. Ved at ombytte, hvad der er givet (to sider er lige store) og hvad der skal bevises (to vinkler er lige), får vi den omvendte udsagn: Hvis to vinkler i en trekant er lige store, så er to sider lige store. I dette eksempel kunne det omvendte bevises som et andet teorem, men det er det ofte ikke. For eksempel er det omvendte udsagn til sætningen om, at to rette vinkler er lige store, udsagnet om, at to lige store vinkler skal være rigtige, men det er tydeligvis ikke altid tilfældet [9] .
En generalisering er en sætning, der inkluderer en tidligere bevist sætning som et særligt tilfælde , og derfor som en konsekvens.

Der er andre, mindre almindeligt anvendte udtryk, der normalt er knyttet til dokumenterede udsagn, så nogle sætninger omtales med historiske eller konventionelle navne. For eksempel:

En identitet er et teorem om lighed mellem to matematiske udtryk, der altid er sandt, uanset hvilke værdier der bruges for eventuelle variable eller parametre, der optræder i udtrykkene. Eksempler er Eulers formel og Vandermonde-identiteten .
En regel er et teorem, der etablerer en brugbar formel. For eksempel Bayes' regel og Cramers regel .
En lov eller et princip er et teorem, der gælder under en lang række omstændigheder. Eksempler omfatter loven om store tal , cosinussætningen , Kolmogorovs nul-en-lov , Harnacks princip, den mindst øvre bundne egenskab ogprincip 10 .

Flere velkendte sætninger har endnu mere ejendommelige navne. Divisionsalgoritmen (se division med rest ) er en sætning, der udtrykker resultatet af division med naturlige tal og mere generelle ringe. Bezouts forhold er en sætning, der siger, at den største fælles divisor af to tal kan skrives som en lineær kombination af disse tal. Banach-Tarski-paradokset er en teorem i målteori , der er paradoksal i den forstand, at den modsiger gængse ideer om volumen i tredimensionelt rum.

Sætningens layout

Sætningen og dens bevis er normalt opstillet som følger:

Sætningen og navnet på den person, der beviste det, og året for opdagelsen, beviset eller offentliggørelsen. Et udsagn af en sætning (nogle gange kaldet en proposition ). Bevis Beskrivelse af beviset. Ende.

Slutningen af beviset kan angives med bogstaverne QED ( quod erat demonstrandum ) eller en af gravstenene "□" eller "∎", der betyder "End of proof", introduceret af Paul Halmos efter deres brug i tidsskriftsartikler.

Den nøjagtige stil afhænger af forfatteren eller publikationen. Mange publikationer giver instruktioner eller makroer til at skrive i en stilguide .

Typisk indledes en sætning af definitioner , der beskriver den nøjagtige betydning af de termer, der bruges i sætningen. Også sætningens udsagn går forud for en række påstande eller lemmaer, som så bruges i beviset. Lemmaer er dog nogle gange inkluderet i beviset for en sætning, enten med indlejrede beviser eller med deres beviser præsenteret efter beviset for sætningen.

Konsekvenserne af teoremet præsenteres enten mellem teoremet og beviset eller umiddelbart efter beviset. Nogle gange har følgerne deres egne beviser, der forklarer, hvorfor de følger af sætningen.

Interessante fakta

Det anslås, at mere end en kvart million sætninger bliver bevist hvert år [11] .

Den velkendte aforisme " en matematiker er en maskine til at forvandle kaffe til sætninger " tilskrives ofte den eminente matematiker Pal Erdős , som var berømt for at bevise et stort antal sætninger, hvor Erdős-tallet karakteriserer antallet af hans mulige samarbejdspartnere, og den enorme mængde kaffe han drak [12] . Denne udtalelse tilhører imidlertid en kollega til Erdős, Alfred Renyi (selvom Renyi, der udtalte denne sætning, højst sandsynligt betød Erdős).

Klassificeringen af simple endelige grupper betragtes af nogle matematikere som det længste bevis på sætningen. Den blev produceret af omkring 100 forfattere i 500 tidsskriftsartikler, der spænder over i alt titusindvis af sider. Disse publikationer anses tilsammen for at give et fuldstændigt bevis, og mange matematikere håber at forkorte og forenkle dette bevis [13] . Et andet teorem af denne type er firefarveproblemet, hvis computerbevis er for langt til, at et menneske kan læse det. Dette er langt det længste kendte bevis for sætningen, og påstanden er let for lægmanden at forstå.

Se også

Noter

↑ Elisha Scott Loomis. Den pythagoræiske proposition: dens demonstrationer analyseret og klassificeret, og bibliografi over kilder til data for de fire slags beviser . Informationscenter for uddannelsesressourcer . Institut for Uddannelsesvidenskab (IES) under US Department of Education . Hentet: 26. september 2010. (ubestemt)
↑ Kort ordbog over fremmede ord. - 7. udg. - M . : Russisk sprog , 1984. - S. 250. - 312 s.
↑ Sætning // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 s.
↑ Men både teoremer og videnskabelig lov er resultatet af undersøgelser. Se Heath, 1897 Introduction, The terminology of Archimedes , s. clxxxii: "sætning (θεώρημα) fra θεωρεῖν for at undersøge"
↑ Doron Zeilberger. Udtalelse 51 . Hentet 25. april 2019. Arkiveret fra originalen 10. juni 2016. (ubestemt)
↑ Petkovsek et al. 1996.
↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Plangeometri (ubestemt) . — Ginn & Co., 1913.
↑ Wentworth & Smith Art. 51
↑ Efterfulgt af Wentworth & Smith Art. 79
^ Ordet lov kan også henvise til et aksiom, en inferensregel eller, i sandsynlighedsteori , en sandsynlighedsfordeling .
↑ Hoffman 1998, s. 204.
↑ Hoffman 1998, s. 7.
↑ Kæmpe sætning: Klassificering af Finite Simple Groups Arkiveret 2. februar 2009 på Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, udgave 41. december 2006.

Litteratur

Heath, Sir Thomas Little. Arkimedes' værker (engelsk) . — Dover, 1897.
Hoffman, P. Manden, der kun elskede tal: Historien om Paul Erdős og søgen efter matematisk sandhed . - Hyperion, New York, 1998.
Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach : En evig gylden fletning (tysk) . — Basic Books , 1979.
Hunter, Geoffrey. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic . - University of California Press , 1996.
Venner, Benson. Elementær logik . — Oxford University Press , 1972.
Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert. A = B (udefineret) . — A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1996.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk stor kinesisk Fantastisk norsk Stor russer Litauisk universal Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NDL : 00577594