Ligebenet trekantsætning

Den ligebenede trekantsætning er en klassisk sætning i geometri , der siger, at vinklerne modsat siderne af en ligebenet trekant er lige store. Denne sætning vises som påstand 5 i bog 1 af Euklids elementer .

Det omvendte udsagn er også sandt: Hvis to vinkler i en ikke-degenereret trekant er lige store, så er siderne modsat dem også lige store. Sætningen er gyldig i absolut geometri , og derfor er den i Lobachevskys geometri også gyldig i sfærisk geometri .

Pons asinorum

Denne sætning, ligesom (mere sjældent) Pythagoras sætning , kaldes nogle gange lat. pons asinorum [1] ({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) - "bro af æsler". Udtrykket har været kendt siden 1645 [2]

Der er to mulige forklaringer på dette navn. Den ene er, at tegningen, der blev brugt i Euklids bevis, lignede en bro. En anden forklaring er, at dette er det første seriøse bevis i Euklids elementer - "æsler" kan ikke overmande det [1] .

Beviser

Euclid og Proclus

Euklid beviser desuden, at hvis siderne i en trekant strækker sig ud over basen, så er vinklerne mellem forlængelserne og basen også lige store. Altså i tegningen til Euklids bevis. $\measuredangle CBF=\measuredangle BCG$

Proclus påpeger, at Euklid aldrig bruger denne yderligere påstand, og hans bevis kan forenkles lidt ved at tegne hjælpesegmenter til trekantens sider og ikke til deres forlængelser. Resten af beviset kører næsten uændret. Proclus foreslog, at den anden afledning kunne bruges som begrundelse i beviset for følgende påstand, hvor Euklid ikke overvejede alle tilfælde.

Beviset bygger på den foregående sætning i Elementerne, på det, der i dag kaldes testen for ligheden af trekanter på to sider og vinklen mellem dem.

Proclus bevis

Lade være en ligebenet trekant med lige sider og . Vi markerer et vilkårligt punkt på siden og konstruerer et punkt på siden så . Lad os tegne segmenter og . Da , Og vinklen er fælles, ved ligheden mellem de to sider og vinklen mellem dem, , og derfor er deres tilsvarende sider og vinkler ens. Derfor vinklen og og . Da og , subtraktioner fra lige dele er lige, får vi . Ved igen at anvende tegnet på trekanters lighed på to sider og vinklen mellem dem, får vi det . Herfra og . Subtraktioner fra lige store dele får vi . Igen, ved det samme kriterium, opnår vi det . Derfor . ■ $\trekant ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $AB$ $E$ $AC$ $AD=AE$ $DC$ $VÆRE$ $DE$ $AD=AE$ $AB=AC$ $\angle A$ $\triangle BAE\cong \triangle CAD$ $\measuredangle ABE=\measuredangle ACD$ $\measuredangle AEB=\measuredangle ADC$ $BE=CD$ $AB=AC$ $AD=AE$ $BD=CE$ $\triangle DBE\cong \triangle ECD$ $\measuredangle BDE=\measuredangle CED$ $\measuredangle BED=\measuredangle CDE$ $\measuredangle BDC=\measuredangle CEB$ $\triangle BDC\cong \triangle CEB$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Papp

Proclus giver også et meget kort bevis tilskrevet Pappus . Det er enklere og kræver ikke yderligere konstruktioner. Beviset anvender lighedstegnet på to sider og vinklen mellem dem på trekanten og dens spejlbillede.

Bevis Pappus

Lade være en ligebenet trekant med lige sider og . Da vinklen er fælles på to sider og vinklen mellem dem . Især . ■ $\trekant ABC$ $AB$ $AC$ $\angle A$ $AB=AC$ $\triangle ABC\cong \triangle ACB$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Andre

Pappus' bevis forvirrer nogle gange eleverne ved at sammenligne trekanten "med sig selv". Derfor giver lærebøger ofte følgende længere bevis. Det er enklere end Euklids bevis, men bruger begrebet halveringslinje. I Elementerne er konstruktionen af en vinkels halveringslinje kun givet i sætning 9. Derfor skal præsentationsrækkefølgen ændres for at undgå muligheden for cirkulær ræsonnement.

Bevis

Lade være en ligebenet trekant med lige sider og . Lad os tegne vinkelhalveringslinjen . Lade være skæringspunktet for halveringslinjen med siden . Bemærk, at siden , og den fælles side. Så . ■ $\trekant ABC$ $AB$ $AC$ $\angle A$ $x$ $f.Kr$ $\triangle BAX\cong \triangle CAX$ $\measuredangle BAX=\measuredangle CAX$ $AB=AC$ $AX$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Legendre bruger lignende konstruktioner i sin "Éléments de géométrie", men tager som midten . Beviset ligner hinanden, men bruger tegnet på, at trekanter er ens på tre sider. $x$ $f.Kr$

Links

↑ 12 Smith , David Eugene. Matematikkens historie : [ eng. ] . - Ginn And Company, 1925. - Vol. II: Særlige emner i elementær matematik. - S. 284. - 725 s.
Den dannede sig ved en bro, som tåberne ikke kunne håbe på at passere over, og blev derfor kendt som pons asinorum eller tåbernes bro.¹
…

1. Udtrykket er noget, der anvendes på Pythagoras sætning.
↑ Definition af Pons Asinorum . Merriam Webster. Hentet 5. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 1. april 2019.