Gauss Lemma om polynomiers reduktionsevne

Gauss-lemmaet er et udsagn om egenskaberne af polynomier over faktorielle ringe , som først blev bevist for polynomier over ringen af heltal . Det er meget udbredt i teorien om ringe og felter, især til at bevise faktorialiteten af en polynomialring over en faktoriel ring og Luroths teorem .

Ordlyd

Lade være en faktoriel ring (for eksempel ringen af heltal). Så er følgende to udsagn sande: $R$

Lad irreducerbart (og dermed simpelt ) ind og dividerer alle koefficienter af produktet. Deler også alle koefficienter for enten et polynomium eller et polynomium . Især hvis er primitive polynomier (et polynomium kaldes primitivt, hvis den største fælles divisor af dets koefficienter er invertibel , altså forbundet med enhed ), så er polynomiet også primitivt; $a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],$ $-en$ $R$ $f(x)g(x).$ $-en$ $f(x),$ $g(x).$ $f(x),g(x)$ $f(x)g(x)$
Hvis er et felt af partielle ringe, og hvis polynomiet er irreducerbart i ringen, så er det irreducerbart i ringen . Desuden, hvis polynomiet er primitivt, er det omvendte også sandt. $Q$ $R,$ $R[x],$ $Q[x].$ $R[x],$

Begge disse udsagn forbliver sande, hvis vi i stedet for faktorielle ringe betragter integritetsregioner , hvor to vilkårlige elementer har den største fælles divisor .

Bevis (for faktorielle ringe)

Lad os bevise, at hvis et simpelt element i ringen er en fælles divisor af koefficienterne , så deler den enten alle koefficienterne eller alle koefficienterne . $s$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x),$ $g(x)$

Lad , , være graderne af disse polynomier. ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m))$ $n=\operatørnavn {deg} f,m=\operatørnavn {deg} g$

Antag, at der i aggregatet hverken er koefficienterne eller dividerne. Så findes der mindst dem , som og $s$ $f(x),$ $g(x).$ $i,j$ ${\displaystyle p\nmid a_{i))$ $p\nmid b_{j}.$

Koefficienten ved et element af graden af et polynomium har formen: $i+j$ $f(x)g(x)$

\sum _{k<i}a_{k}b_{i+jk}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+jl}b_{l}.

I overensstemmelse med valget deler elementet alle led i denne sum, bortset fra hvilke det ikke deler sig på grund af sin enkelhed og faktorialitet. Derfor deler det ikke hele summen, som er en af koefficienterne i polynomiet, og vi når frem til en modsigelse. En umiddelbar konsekvens af dette punkt er, at hvis de er primitive, så er deres produkt også et primitivt polynomium. $i,j$ $s$ $a_{i}b_{j},$ $R.$ $f(x),g(x)$ $f(x)g(x)$

Lad nu være en faktorisering i ringen. Ved at gange hver af dem med et fælles multiplum af nævnerne af deres koefficienter, får vi det og $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ $Q[x].$ $f_{1}(x),f_{2}(x)$ $af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]$ $bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]$ $abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).$

Hver af primdivisorerne deler alle koefficienterne og dermed alle koefficienterne for en af polynomialfaktorerne. Ved at dividere med denne divisor og gentage processen et begrænset antal gange, opnår vi en faktorisering i ringen $ab$ $g_{1}(x)g_{2}(x),$ $R[x].$

Se også

Lurots sætning

Litteratur

Garling, DJH (1986), A Course in Galois Theory , Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3