Cauchys radikale tegn

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Cauchys radikale tegn er et tegn på konvergens af en talrække :

Hvis for en nummerserie

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

med ikke-negative termer eksisterer der et tal , , sådan at uligheden starter med et tal $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q

så konvergerer denne serie; hvis, startende fra et eller andet tal

{\sqrt[{n}]{a_{n))}>1

så divergerer serien.

Hvis , så er dette et tvivlsomt tilfælde, og der er behov for mere forskning. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Hvis, startende fra et eller andet tal, , og der ikke eksisterer sådan , at for alle , startende fra et eller andet tal, så i dette tilfælde kan rækken både konvergere og divergere. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$

Begræns form

Hvis der er en grænse

{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))))

så konvergerer den betragtede serie hvis , og hvis divergerer. $\rho<1$ $\rho >1$

Bemærkning 1. Hvis , så besvarer Cauchy radikale test ikke spørgsmålet om konvergensen af serien. $\rho=1$

Bemærkning 2. Hvis , men sekvensen tenderer til sin grænse fra oven, så divergerer rækken. $\rho=1$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n))))$ $\rho$

Bevis

Først og fremmest skal det bemærkes, at hvis Cauchy-kriteriet er opfyldt for sekvensen , startende fra et eller andet tal , så kan vi overveje en undersekvens af sekvensen , bare startende fra dette nummer. En serie sammensat af en sådan undersekvens vil konvergere. Men så vil den oprindelige serie også konvergere, da det endelige antal begyndelsesled i rækkefølgen ikke påvirker konvergensen af rækken. I dette tilfælde, for at forenkle beviset, giver det mening at acceptere , det vil sige at acceptere, at Cauchy-kriteriet er opfyldt for alle naturlige . ${\displaystyle \{a\))$ $N$ ${\displaystyle \{a\))$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$ $N=1$ $n$

Lad uligheden være sand for alle naturlige tal , hvor . Så kan du skrive , , ..., , og så videre. Da og , og alle medlemmer af sekvensen er ikke-negative, kan systemet af uligheder omskrives som følger: , , ..., , og så videre. Tilføjer vi de første uligheder, får vi . Dette betyder, at den th partielle sum af serien er mindre end den th partielle sum af en aftagende geometrisk progression med initialled . Summen af en uendelig aftagende geometrisk progression konvergerer, derfor konvergerer den oprindelige serie også ved kriteriet om at sammenligne serier med positive tegn. $n$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leq q$ ${\sqrt {a_{2))}\leq q$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q$ $q$ ${\displaystyle \{a\))$ ${a_{1}}\leq q$ ${a_{2}}\leq {q^{2}}$ ${a_{n}}\leq {q^{n}}$ $n$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $n$ $n$ $q$
Lad (for alt naturligt ): så kan vi skrive . Dette betyder, at modulet af sekvenselementerne ikke har en tendens til nul ved uendelighed, og derfor har sekvensen i sig selv ikke tendens til nul. Den nødvendige betingelse for konvergens af enhver serie er ikke opfyldt. Derfor divergerer serien. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\geq 1$ $n$ $a_{n}\geq 1$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Lad for alle naturlige . Desuden er der ikke sådan , at for alle naturlige . I dette tilfælde kan serien enten konvergere eller divergere. For eksempel opfylder både serier og denne betingelse, og den første serie (harmonisk) divergerer, og den anden konvergerer. Faktisk er serien sand for enhver naturlig , undtagen for . På samme tid, da , betyder dette, at for enhver , er det muligt at vælge et tal , således at , og samtidig, startende fra et eller andet tal, vil alle medlemmer af sekvensen , hvor , vil være i intervallet , dvs. , . Og det betyder, at der ikke er sådan , at for alle naturlige . Disse argumenter kan gentages for anden række: det samme gælder for alle , . Den anden serie konvergerer dog. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $n$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}<1$ $n$ $n=1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\displaystyle \{b\))$ ${b_{n}}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Eksempler

1. Række

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}

konvergerer, da betingelsen for den begrænsende form af den radikale test af Cauchy-sætningen er opfyldt

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Overvej serien

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\right)}^{{n-1}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

serien konvergerer.

Se også

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich