Sammenligningstegn

Et tegn på sammenligning er en erklæring om samtidigheden af divergensen eller konvergensen af to serier , baseret på en sammenligning af medlemmerne af disse serier.

Ordlyd

Lad to positive serier blive givet:

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

Så, hvis startende fra et sted ( ), gælder følgende ulighed: $n>N$

0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}

så indebærer konvergensen af serien konvergensen af . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Eller, hvis serien divergerer, så divergerer og . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bevis

Lad os betegne seriens delsummer . Det følger af ulighederne , at derfor indebærer boundedness boundedness , og boundedness indebærer unboundedness . Attributtens gyldighed følger af konvergenskriteriet for $\sigma _{n}$ $\sum b_{k}$ $(*)$ $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ $(\sigma _{n})$ $(s_{n}),$ $(s_{n})$ $(\sigma _{n}).$ $\sum b_{k}.$

Tegn på sammenligning af relationer

Også tegnet på sammenligning kan formuleres i en mere bekvem form - i form af relationer.

Ordlyd

Hvis for medlemmer af strengt positive serier og startende fra et sted ( ), gælder følgende ulighed: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{{n+1}}}{b_{n}}}

så indebærer konvergens af serien konvergens , og divergens indebærer divergens . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bevis

Multiplicerer ulighederne for , opnår vi $k=1,2,...,n-1$

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

eller

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

Endvidere er det tilstrækkeligt at anvende sammenligningskriteriet for positive serier og (og tage højde for, at den konstante faktor ikke påvirker konvergensen). $\sum a_{k}$ $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$

Grænse sammenligningskriterium

Da det er en ganske vanskelig opgave pålideligt at fastslå gyldigheden af denne ulighed for ethvert n, bruges sammenligningskriteriet i praksis normalt i den begrænsende form.

Ordlyd

Hvis og der er strengt taget positive serier og $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c

så for , konvergens indebærer konvergens , og for , divergens indebærer divergens . $0\leqslant c<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $0<c\leqslant \infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Bevis

Fra vi ved, at der for enhver eksisterer sådan, at for alle vi har , eller, hvilket er det samme: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ $\varepsilon > 0$ $n_{0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0))$ $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))

Da vi kan tage det lille nok til at være positive. Men så , og ifølge sammenligningskriteriet beskrevet ovenfor, hvis konvergerer, så konvergerer og . $c>0$ $\varepsilon$ $c-\varepsilon$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ $\sum _{n}a_{n}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$

Tilsvarende , og derefter, hvis konvergerer, så konvergerer og . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$ $\sum _{n}a_{n}$

Således konvergerer begge serier, eller også divergerer de begge.

Litteratur

Yu. S. Bogdanov — Forelæsninger om matematisk analyse — Del 2 — Minsk — BSU Publishing House. V. I. Lenin - 1978.
G. M. Fikhtengolts. Seriesammenligningssætninger // Fundamentals of Mathematical Analysis. - Sankt Petersborg. : Lan, 2001. - T. 2. - S. 17-19. — 464 s. - ISBN 5-8114-0191-4 .

Links

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich