Dini tegn

Dini -testen er en test for den punktvise konvergens af Fourier-serien. På trods af at Fourier-rækken af funktionen fra konvergerer til den i betydningen -normen , behøver den slet ikke at konvergere til den punktvis (selv i tilfælde af en kontinuert funktion ). Ikke desto mindre finder punktvis konvergens sted under nogle yderligere betingelser (for eksempel i det tilfælde, hvor funktionen er glat eller i det mindste opfylder Hölder- eller Lipschitz-betingelsen med en positiv eksponent). $L_2([-\pi,\pi])$ $L_{2}$

Konvergensen af Fourier-rækken på et bestemt punkt er en lokal egenskab ved funktionen: hvis to funktioner falder sammen i et eller andet område af punktet , så konvergerer eller divergerer deres Fourier-række på dette tidspunkt samtidigt. $t$

Dini-testen etablerer en meget generel betingelse for en sådan konvergens. Opkaldt efter den italienske matematiker Ulysses Dini .

Dini tegn

Indstil til $\delta>0$

$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{{s:|st|\leqslant \delta }}|f(t)-f(s)|$ .

( kontinuitetsmodul af en funktion i et punkt ). $f$ $t$

Hvis funktionen opfylder betingelsen $f$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

derefter konvergerer dens Fourier-serie på punktet til . $t$ $f(t)$

Kommentar. Betingelserne for Dini-testen er opfyldt, især når

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac 1({\mathop {{\mathrm {ln)))){\frac 1\delta ))}\right)^{ \gamma},$

hvor (Dette er en meget svagere tilstand end nogen Hölder-tilstand). Du kan ikke tage det. $\gamma >1$ $\gamma=1$

Ændret Dini-tegn

En ændring af Dini-kriteriet er også gyldig i det tilfælde, hvor funktionen har en diskontinuitet i punktet , men ikke desto mindre dens begrænsninger til intervaller og kan udvides til funktioner, der opfylder Dini-kriteriet. $f$ $t$ $(t-\varepsilon ,t)$ $(t,t+\varepsilon)$

Lad os være nogle tal. Indstil til $f_{+},f_{-}$ $\delta>0$

$\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t,t+\delta )}}|f(s)- f_{+}|$ ,

$\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t-\delta ,t)}}|f(s) -f_{-}|$ .

Hvis tallene , og funktionen er sådan, at $f_{+}$ $f_{-}$ $f$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

derefter konvergerer Fourierrækken af funktionen i punktet til . $f$ $t$ ${\frac {f_{+}+f_{-}}2}$

Dini-Lipschitz-tegnet

Hvis kontinuitetsmodulet for en funktion på et punkt opfylder betingelsen $f$ $t$

$\omega _{f}(t,\delta )=o\venstre({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

så konvergerer Fourierrækken af funktionen i punktet til $f$ $t$ $f(t)$

Nøjagtighed af Dini og Dini-Lipschitz funktioner

Hvis en stigende ikke-negativ funktion er sådan, at $\Omega$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$ ,

så er der en funktion sådan $f$

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta)$

for alle tilstrækkeligt små , og Fourier-rækken af funktionen divergerer i punktet . $\delta$ $f$ $t$

Der er en funktion med en Fourier-serie, der divergerer ved nul, som opfylder betingelsen $f$

$\omega _{f}(0,\delta )=O\venstre({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

Et eksempel på anvendelse af Dini-testen: summen af inverse kvadrater

Overvej den periodiske fortsættelse af funktionen fra intervallet : $x^{2}$ $[-\pi ,\pi )$

$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$

hvor de krøllede parenteser angiver brøkdelen af tallet . Det er nemt at finde udvidelsen af denne funktion i en Fourier-serie:

$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}3}+4\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} }{n^{2}}}\cos nx$

Ved at erstatte og og bruge henholdsvis den konventionelle og modificerede Dini-test for at retfærdiggøre den punktvise konvergens, opnår vi lighederne: $x=0$ $x=\pi$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^ {2}}{12}}$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

Se også

Dinis sætning

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich

Dini tegn

Dini tegn

Ændret Dini-tegn

Dini-Lipschitz-tegnet

Nøjagtighed af Dini og Dini-Lipschitz funktioner

Et eksempel på anvendelse af Dini-testen: summen af ​​inverse kvadrater

Se også

Et eksempel på anvendelse af Dini-testen: summen af inverse kvadrater