Overflade

En overflade i geometri og topologi er en todimensionel topologisk mangfoldighed . De bedst kendte eksempler på overflader er grænserne for geometriske legemer i det sædvanlige tredimensionelle euklidiske rum. På den anden side er der overflader (såsom Klein-flasken ), der ikke kan indlejres i tredimensionelt euklidisk rum uden at involvere en singularitet eller selvskæring.

En overflades "todimensionalitet" indebærer muligheden for at implementere koordinatmetoden på den , men ikke nødvendigvis for alle punkter. Så Jordens overflade (ideelt set) er en todimensionel kugle , hvis breddegrad og længdegrad af hvert punkt er dens koordinater (med undtagelse af polerne og den 180. meridian ).

Begrebet en overflade anvendes i fysik , teknik , computergrafik og andre områder i studiet af fysiske objekter. For eksempel er analysen af et flys aerodynamiske kvaliteter baseret på luftstrømmen omkring dets overflade.

Quest metoder

En overflade er defineret som et sæt punkter, hvis koordinater opfylder en bestemt type ligning:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Hvis en funktion på et eller andet tidspunkt er kontinuert og har kontinuerte partielle afledninger, hvoraf mindst én ikke forsvinder, så vil overfladen givet ved ligning (1) i nærheden af dette punkt være en regulær overflade . $F(x,\,y,\,z)$

Ud over den ovenstående implicitte måde at specificere på , kan en overflade defineres eksplicit , hvis en af variablerne, for eksempel z, kan udtrykkes i form af de andre:

z=f(x,y)\qquad (1')

Der er også en parametrisk måde at indstille på. I dette tilfælde bestemmes overfladen af ligningssystemet:

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\right.\qquad (1'')

Konceptet med en simpel overflade

Intuitivt kan en simpel overflade opfattes som et stykke af et plan udsat for kontinuerlige deformationer ( spændinger, kompressioner og bøjninger ).

Mere strengt er en simpel overflade billedet af en homøomorf kortlægning (det vil sige en en-til-en og gensidigt kontinuerlig kortlægning) af det indre af enhedspladsen. Denne definition kan gives et analytisk udtryk.

Lad et kvadrat være givet på en plan med rektangulære koordinater u og v , hvis koordinater for de indre punkter opfylder ulighederne 0 < u < 1, 0 < v < 1. Det homøomorfe billede af et kvadrat i rummet med rektangulære koordinater x , y, z er givet ved hjælp af formlerne x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( parametrisk overfladespecifikation ). Desuden kræves det, at funktionerne x(u, v), y(u, v) og z(u, v) er kontinuerte og for at forskellige punkter (u, v) og (u', v') skal have forskellige tilsvarende punkter (x, y, z) og (x', y', z').

Et eksempel på en simpel overflade er en halvkugle. Hele kuglen er ikke en simpel overflade . Dette nødvendiggør en yderligere generalisering af begrebet overflade.

En delmængde af rummet, hvor hvert punkt har et kvarter, der er en simpel overflade , kaldes en regulær overflade .

Overflade i differentialgeometri

I differentialgeometri er overfladerne under undersøgelse normalt underlagt betingelser relateret til muligheden for at anvende metoderne til differentialregning. Det er som regel betingelserne for overfladens glathed , det vil sige eksistensen i hvert punkt af overfladen af et bestemt tangentplan , krumning osv. Disse krav bunder i, at de funktioner, der definerer overfladen antages én, to, tre gange og i nogle spørgsmål - et ubegrænset antal gange differentiable eller endda analytiske funktioner . I dette tilfælde er regularitetsbetingelsen yderligere pålagt.

Den implicitte opgavesag . Overfladen givet af ligningen er en glat regelmæssig overflade , hvis funktionen er kontinuerligt differentierbar i sit definitionsdomæne , og dens partielle afledte ikke samtidig forsvinder (korrekthedstilstand) på hele sættet : $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ $\eksisterer P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ $F$ $\Omega$ $\Omega$

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0

Tilfældet med en parametrisk opgave . Vi definerer overfladen ved en vektorligning , eller, som er den samme, ved tre ligninger i koordinater: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\right.\quad (u,\,v)\in\Omega

Dette ligningssystem definerer en glat regelmæssig overflade, hvis følgende betingelser er opfyldt:

systemet etablerer en en-til-en overensstemmelse mellem billedet og prototypen ; $\Omega$
funktionerne er kontinuerligt differentierbare i ; $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ $\Omega$
betingelsen om ikke-degeneration er opfyldt:

\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0

Geometrisk betyder den sidste betingelse, at vektorerne ingen steder er parallelle. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Parametrene u, v kan betragtes som interne koordinater for overfladepunkterne. Ved at fikse en af koordinaterne får vi to familier af koordinatkurver , der dækker overfladen med et koordinatgitter.

Eksplicit sag . En overflade kan defineres som grafen for en funktion ; er så en glat regelmæssig overflade, hvis funktionen er differentierbar. Denne mulighed kan betragtes som et særligt tilfælde af en parametrisk opgave: . $S$ $z=f(x,y)$ $S$ $f$ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$

Tangentplan

Tangentplanet i et punkt på en glat overflade er det plan, der har den maksimale rækkefølge af kontakt med overfladen på det punkt. En ækvivalent definition: Et tangentplan er et plan, der indeholder tangenterne til alle glatte kurver, der passerer gennem det punkt.

Lad en glat kurve på en parametrisk defineret overflade angives i formen: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

u = u(t);\ v = v(t)

Retningen af tangenten til en sådan kurve giver en vektor: $\mathbf{v}$

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}

Dette viser, at alle tangenter til alle kurver i et givet punkt ligger i samme plan, der indeholder vektorerne , som vi ovenfor antog for at være uafhængige. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Tangentplansligningen i et punkt har formen: $\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}\right ) = 0\quad

( blandet produkt af vektorer).

I koordinater er ligningerne for tangentplanet for forskellige måder at specificere overfladen givet i tabellen:

	tangentplan til overfladen i et punkt $(x_{0},y_{0},z_{0})$
implicit opgave	$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z -z_0)=0$
eksplicit opgave	$\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=(z-z_0)$
parametrisk opgave	$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0$

Alle derivater tages på punktet . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Metrik og indre geometri

Overvej en jævn kurve igen:

u = u(t);\ v = v(t)

Elementet af dets længde bestemmes ud fra forholdet:

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\venstre({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u))du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

hvor . $E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r' _v}$

Denne kvadratiske form kaldes den første kvadratiske form og er en todimensionel version af overflademetrikken . For en regelmæssig overflade er den diskriminerende på alle punkter. Koefficient i et punkt på overfladen, hvis og kun hvis koordinatkurverne på det punkt er ortogonale. Især opnås en metrik på et plan med kartesiske koordinater ( Pythagores sætning ). $EG-F^2>0$ $F=0$ $u,\v$ $ds^2 = du^2 + dv^2$

Metrikken bestemmer ikke entydigt overfladens form. For eksempel er metrikkerne for en helicoide og en katenoid , parametriseret i overensstemmelse hermed, de samme, det vil sige, at der er en overensstemmelse mellem deres regioner, der bevarer alle længder ( isometri ). De egenskaber, der er bevaret under isometriske transformationer, kaldes overfladens iboende geometri . Den indre geometri afhænger ikke af overfladens position i rummet og ændres ikke, når den bøjes uden spænding og kompression (f.eks. når en cylinder bøjes til en kegle ) [1] .

Metriske koefficienter bestemmer ikke kun længden af alle kurver, men generelt resultaterne af alle målinger inde i overfladen (vinkler, arealer, krumning osv.). Derfor refererer alt, der kun afhænger af metrikken, til den interne geometri. $E,\F,\G$

Normal og normal sektion

En af hovedkarakteristikaene ved en overflade er dens normal - en enhedsvektor vinkelret på tangentplanet i et givet punkt:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}

Normalens tegn afhænger af valget af koordinater.

Sektionen af en overflade ved et plan, der indeholder normalen af overfladen i et givet punkt, danner en bestemt kurve, som kaldes den normale sektion af overfladen. Hovednormalen for et normalt snit falder sammen med normalen til overfladen (op til et tegn).

Hvis kurven på overfladen ikke er en normal sektion, danner dens hovednormal en vinkel med overfladenormalen . Så er kurvens krumning relateret til krumningen af normalsektionen (med samme tangent) ved Meuniers formel : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Koordinaterne for normalvektoren for forskellige måder at specificere overfladen på er angivet i tabellen:

	Normale koordinater ved et overfladepunkt
implicit opgave	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\venstre ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
eksplicit opgave	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$
parametrisk opgave	$\frac{\venstre(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\højre)}{\sqrt{\venstre(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\højre)^2 +\venstre(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\højre)^2+\venstre(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ højre)^2}}$

Her . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Alle derivater tages på punktet . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Krumning

For forskellige retninger i et givet punkt på overfladen opnås en anden krumning af normalsnittet, som kaldes normal krumning ; det tildeles et plustegn, hvis hovednormalen af kurven går i samme retning som normalen til overfladen, eller et minustegn, hvis retningerne af normalerne er modsatte.

Generelt er der ved hvert punkt på overfladen to vinkelrette retninger og , hvor den normale krumning antager en minimums- og en maksimumværdi; disse retninger kaldes de vigtigste . En undtagelse er tilfældet, når den normale krumning er den samme i alle retninger (for eksempel nær en kugle eller ved slutningen af en omdrejningsellipsoide ), så er alle retninger i et punkt principielle. $e_{1}$ $e_{2}$

Normale krumninger i hovedretninger kaldes hovedkrumninger ; lad os betegne dem og . Størrelse: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kaldet den Gaussiske krumning , den totale krumning eller blot overfladens krumning. Der er også begrebet krumningsskalar , som antyder resultatet af foldning af krumningstensoren ; i dette tilfælde er krumningen skalar dobbelt så stor som den Gaussiske krumning.

Den Gaussiske krumning kan beregnes ud fra metrikken, og derfor er den et objekt for overfladens iboende geometri (bemærk, at de vigtigste krumninger ikke hører til den indre geometri). Ved krumningstegnet kan du klassificere overfladens punkter (se figur). Planets krumning er nul. Krumningen af en kugle med radius R er overalt lig med . Der er også en overflade med konstant negativ krumning - pseudosfære . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Geodætiske linjer, geodætisk krumning

En kurve på en overflade kaldes geodætisk linje eller blot geodætisk , hvis hovednormalen til kurven på alle sine punkter falder sammen med normalen til overfladen. Eksempel: på et plan vil geodetik være lige linjer og linjestykker, på en kugle storcirkler og deres segmenter.

Tilsvarende definition: for en geodætisk linje er projektionen af dens hovednormal på tangentplanet nulvektoren. Hvis kurven ikke er en geodætisk, så er den angivne projektion ikke-nul; dens længde kaldes den geodætiske krumning af kurven på overfladen. Der er et forhold: $k_{g}$

k^2 = k_g^2 + k_n^2

hvor er krumningen af den givne kurve, er krumningen af den normale sektion af overfladen med samme tangent. $k$ $k_n$

Geodesiske linjer refererer til intern geometri. Vi lister deres vigtigste egenskaber.

Én og kun én geodætisk passerer gennem et givet punkt på overfladen i en given retning.
På et tilstrækkeligt lille område af overfladen kan to punkter altid være forbundet med en geodætisk, og desuden kun et. Forklaring: på en kugle er modsatte poler forbundet med et uendeligt antal meridianer, og to tætte punkter kan ikke kun forbindes med et segment af en stor cirkel, men også ved dets tilføjelse til en hel cirkel, så unikhed kun observeres i en lille.
Den geodætiske er den korteste. Mere strengt: på et lille stykke af overfladen ligger den korteste vej mellem givne punkter langs geodæten.

Område

En anden vigtig egenskab ved en overflade er dens areal , som beregnes af formlen:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Her . $\mathbf{r}'_u=\venstre\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{ \partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}, \,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}$

I koordinater får vi:

	eksplicit opgave	parametrisk opgave
område udtryk	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1 }\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\venstre(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\højre)^2+\venstre(\frac{D(y,z)}{D( u,v)}\højre)^2+\venstre(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\højre)^2}\;\mathrm{d}\,u\, \mathrm{d}\,v$

Overfladetopologi

Orientering

En anden vigtig egenskab ved en overflade er dens orientering .

En overflade kaldes tosidet , hvis den har en kontinuerlig normalvektor i hele sin længde. Ellers kaldes overfladen ensidig .

En orienteret overflade er en tosidet overflade med en valgt retning af normalen.

Eksempler på ensidige og derfor ikke-orienterbare overflader er Klein-flasken eller Möbius-strimlen .

Overfladetyper

En lukket overflade er en kompakt overflade uden grænse.
En åben overflade er en komplet ikke-kompakt overflade uden en grænse; i tilfælde af en indlejret overflade antages det desuden, at den danner et lukket sæt i det omgivende rum.
orienterbare og ikke-orienterbare overflader

Eksempler

Overflader af revolution

En omdrejningsflade kan opnås ved at dreje en kurve i xz -planet rundt om z -aksen , idet det antages, at kurven ikke skærer z -aksen . Lad os antage, at kurven er givet af udtrykket

x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)

med t liggende i ( a , b ) , og parametriseret efter buelængde, således at

{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1.

Så er omdrejningsfladen et sæt punkter

M=\{(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [ 0,2\pi )\}.

Gaussisk krumning og gennemsnitskrumning er givet ved udtrykkene [2]

K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.

Geodesik på rotationsoverfladen er defineret af Clairaut-relationen .

Anden ordens overflade

Lad os overveje andenordens overflade givet af udtrykket [3]

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

Denne overflade tillader parametriseringen

x={\sqrt {a(au)(av) \over (ab)(ac)))),\,\,y={\sqrt {b(bu)(bv) \over (ba) (bc))),\,\,z={\sqrt {c(cu)(cv) \over (cb)(ca)))).

Gausskrumning og middelkurvatur er givet ved

K={abc \over u^{2}v^{2)),\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^ {3}}}.

Regnede overflader

En styret flade er en flade, der kan opnås ved at flytte en ret linje i [4] [5] . Ved at vælge en retningslinje på overfladen, dvs. en glat enhedshastighedskurve c ( t ) vinkelret på de rette linjer, og derefter vælge som enhedsvektorer langs kurven i retning af de rette linjer, for hastighedsvektoren og u , $\mathbb{E}^3$ $u(t)$ ${\displaystyle v=c_{t))$

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

Overfladen består af punkter

c(t)+s\cdot u(t)

ved ændring af s og t .

Så hvis

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}} ,\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

Gaussisk og middelkrumning er givet ved udtrykkene

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2)),\,\,K_{m}=- {r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s- \alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

Den gaussiske krumning af en regeret overflade forsvinder, hvis og kun hvis og v er proportionale [6] . Denne betingelse svarer til, at overfladen er en indhyllingsplan af planer langs en kurve indeholdende en tangentvektor v og en ortogonal vektor u , det vil sige, at overfladen udfolder sig langs kurven [7] . Mere generelt har en overflade i nul Gaussisk krumning nær et punkt, hvis og kun hvis den udvikler sig nær dette punkt [8] (En ækvivalent betingelse er givet nedenfor i form af en metrisk.) $u_{t}$ $\mathbb{E}^3$

Minimale overflader

I 1760 udvidede Lagrange Eulers resultater af beregningen af variationer med integraler i én variabel til integraler i to variable [9] [10] . Han overvejede følgende problem:

En sådan overflade kaldes en minimal overflade .

I 1776 viste Jean Baptiste Meunier , at differentialligningen udledt af Lagrange svarer til den gennemsnitlige krumning af en overflade, der forsvinder:

Minimale overflader har en simpel fortolkning i det virkelige liv - de har form af en sæbefilm, hvis trådrammen dyppes i sæbevand og forsigtigt fjernes. Spørgsmålet om, hvorvidt der er en minimal overflade med en given grænse, kaldes Plateauproblemet , efter den belgiske fysiker Joseph Plato , der eksperimenterede med sæbefilm i midten af det nittende århundrede. I 1930 gav Jesse Douglas og Tibor Rado et positivt svar på Plateaus problem (Douglas modtog en af de første Fields -priser for dette værk i 1936) [11] .

Der kendes mange eksempler på minimale overflader, såsom katenoiden , helicoiden , Scherk-overfladen og Enneper-overfladen . Der er udført intensiv forskning på dette område, hvis resultater er opsummeret i Ossermans bog [12] . Især Ossermans resultat viser, at hvis den minimale overflade ikke er plan, så er dens billede under Gauss-kortet tæt i . $S^{2}$

Overflader med konstant Gaussisk krumning

Hvis en overflade har konstant gaussisk krumning, kaldes den en overflade med konstant krumning [13] [14] [15] .

Enhedskuglen i har en konstant Gaussisk krumning på +1. $\mathbb{E}^3$
Det euklidiske plan og cylinderen har en konstant Gaussisk krumning på 0.
Overfladen af omdrejning c har en konstant Gaussisk krumning −1. Et særligt tilfælde opnås ved at tage , og [14] [16] [17] . Det sidste tilfælde er den klassiske pseudosfære dannet ved rotationen af tractrixen omkring den centrale akse. I 1868 viste Eugenio Beltrami , at pseudovandsfærens geometri var direkte relateret til geometrien af det hyperbolske plan , opdaget uafhængigt af Lobachevsky (1830) og Bolyai (1832). Allerede i 1840 opnåede F. Minding, en elev af Gauss, trigonometriske formler for pseudosfæren, identiske med dem for det hyperbolske plan [18] . Denne overflade med konstant krumning er nu bedre forstået i form af Poincaré-metrikken på det øvre halvplan eller enhedscirkel og kan beskrives af andre modeller, såsom Klein-modellen eller hyperboloidmodellen opnået ved at betragte en to-arks hyperboloid i det tredimensionelle Minkowski-rum , hvor [19] . $\varphi _{tt}=\varphi$ $\varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t$ $C\mathrm {sh} \,t$ ${\displaystyle Ce^{t))$ $q(x,y,z)=-1$ ${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2))$

Hver af disse overflader med konstant krumning har en transitiv Lie-gruppe af symmetrier. Denne gruppeteoretiske kendsgerning har vidtrækkende konsekvenser, som er særligt bemærkelsesværdige i lyset af den centrale rolle, som disse specielle overflader spiller i overfladernes geometri, ifølge Poincarés uniformeringssætning (se nedenfor).

Andre eksempler på overflader med Gaussisk krumning 0 omfatter kegler , fremkaldelige tangentoverflader mere generelt enhver fremkaldelig overflade .

Generalisering

For multidimensionelle analoger af teorien, se:

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - M . : Trappe. — 570 s.
Pogorelov AI Differentialgeometri . — 6. udgave. — M .: Nauka, 1974.
Rashevsky PK Et kursus i differentialgeometri . — 3. udgave. — M. : GITTL, 1950.
Overflade // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Noter

↑ Rashevsky P.K., 1950 , kapitel 7.
↑ do Carmo, 1976 , s. 161-162.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 228-229.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 241-250.
↑ do Carmo, 1976 , s. 188-197.
↑ do Carmo, 1976 , s. 194.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 61-65.
↑ Eisenhart, 2004 .
↑ Eisenhart, 2004 , s. 250-269.
↑ do Carmo, 1976 , s. 197-213.
↑ Douglas' løsning er beskrevet i Courants papir (( Courant 1950 )).
↑ Osserman, 2002 .
↑ Eisenhart, 2004 , s. 270-291.
↑ 1 2 O'Neill, 1997 , s. 249-251.
↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 .
↑ do Carmo, 1976 , s. 168-170.
↑ Gray, Abbena, Salamon, 2006 .
↑ Stillwell, 1996 , s. 1-5.
↑ Wilson, 2008 .