Sherk overflade

Scherk-overfladen (opkaldt efter Heinrich Scherk) er et eksempel på en minimal overflade . Sherk beskrev to komplette indlejrede minimale overflader i 1834 [1] . Dens første overflade er en dobbelt periodisk overflade, og dens anden overflade er simpelthen periodisk. De var det tredje ikke-trivielle eksempel på minimale overflader (de første to er catenoid og helicoid ) [2] . De to overflader er forbundet med hinanden.

Scherk-overflader opstår i studiet af visse minimale overfladeproblemer og i studiet af harmoniske diffeomorfismer i et hyperbolsk rum .

Sherks første overflade

Den første Scherk-overflade tenderer asymptotisk til to uendelige familier af parallelle planer vinkelret på hinanden. Overfladerne danner, nær z = 0, buer af broer i et skakternet mønster. Overfladen indeholder et uendeligt antal lige lodrette linjer.

Konstruktion af en simpel Sherk-overflade

Overvej følgende minimale overflade på et kvadrat i den euklidiske plan: for et naturligt tal n skal du finde den minimale overflade som en graf for en funktion $\Sigma _{n}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi}{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\til \mathbb {R}

så

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

til

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

til

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

Det vil sige, at u n opfylder den minimale overfladeligning

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\right)\equiv 0

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

Hvad vil der ske med overfladen, når n har en tendens til det uendelige? Svaret blev givet af H. Sherk i 1834: den begrænsende overflade er grafen for funktionen $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{ 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\til \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

Det vil sige, at Scherk-fladen over firkanten er

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right)\right)\ i \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Mere generelle Scherk-overflader

Vi kan overveje lignende problemer med minimale overflader på andre firkanter i det euklidiske plan. Man kan også overveje det samme problem på firkanter på det hyperbolske plan . I 2006 brugte Harold Rosenberg og Pascal Collin Scherks hyperbolske overflader til at konstruere en harmonisk diffeomorfi fra det komplekse plan til det hyperbolske plan (en enhedsskive med en hyperbolsk metrisk) og modbeviste derved Schön-Yau-formodningen .

Sherks anden overflade

Den anden Scherk-overflade ser globalt ud som to ortogonale planer, hvis skæringspunkt består af en sekvens af tunneler i skiftende retninger. Deres skæring med vandrette planer består af vekslende hyperbler.

Overfladen er givet ved ligningen:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

Overfladen har en Weierstrass-Enneper parametrisering , og kan parametriseres som [3] : ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4))))$ $g(z)=iz$

x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta})-\ln(1-re^{i\theta}))=\ln \venstre({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta}))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta})+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\venstre({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

for og . Dette giver en periode af overfladen, som kan forlænges i z-retningen ved symmetri. $\theta \in [0,2\pi )$ $r\in(0,1)$

Overfladen blev generaliseret af H. Karcher til en familie af pylonsadler periodiske minimale overflader.

I litteraturen kaldes denne overflade fejlagtigt den femte Sherk-overflade [4] [5] . For at undgå forvirring er det nyttigt at henvise til overfladen som Sherk-overfladen af en periode eller som Sherk-tårnet.

Noter

↑ Scherk, 1835 , s. 185-208.
↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biografi - MacTutor Mathematics History . Hentet 16. juli 2020. Arkiveret fra originalen 3. november 2019. (ubestemt)
↑ Weisstein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , s. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Litteratur

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Konstruktioner af minimale overflader ved limning af minimale nedsænkninger // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Californien, 25. juni-27. juli - 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. Grænser for minimale overflader og Scherk's Fifth Surface // Arkiv for rationel mekanik og analyse. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2. udgave - CRC presse, 2002.

Links

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Scherks første overflade inden for MSRI-geometri [1]
Scherks anden overflade i MSRI Geometry [2]
Scherks minimale overflader i Mathworld [3] Arkiveret 21. februar 2020 på Wayback Machine

Minimum overflader
Tilknyttet familie Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylon sadel Sherka Tre gange Periodisk Gyroidea Lidinoid Neovius Schwartz