Normal operatør

En normal operator er en lineær afgrænset operator i et Hilbert-rum , der pendler med sit konjugat : . Særlige tilfælde af normale operatører er selvstændige operatører : og enhedsoperatører : . For normale operatorer gælder spektralsætningen . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Udvidelser

Additiv nedbrydning. , hvor er permutations -selv-adjoint-operatorer , $N = X + iY$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Multiplikativ (polær) ekspansion . , hvor er en positiv selvadjoint operatør , er en enhedsoperatør . Operatørerneogpendler både med hinanden og med enhver lineær operator , der pendler samtidigt medog. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Den additive ekspansion ligner udtrykket af et komplekst tal med hensyn til dets reelle og imaginære dele: , og den multiplikative ekspansion ligner repræsentationen i eksponentiel form: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Egenskaber

Hvis operatoren er normal, så er operatorerne , og den omvendte operator (hvis den findes) også normale. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
En lineær kontinuerlig operator i et Hilbert-rum er normalt, hvis og kun hvis for hver . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\i H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Her er kernen og er billedet af operatøren . $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Hvis for nogle og , så . $N x = \alfa x$ $x \i H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
Egenrummene svarende til forskellige egenværdier af normaloperatoren er ortogonale . [3]
Permutabilitetssætningen. Lad være lineære kontinuerlige operatorer og lad operatorerne og være normale. Hvis , så . Især hvis en operator pendler med den normale operator , så pendler den med konjugatet . [fire] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \up \{ |(Nx,x)| \kolon x \i H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
En normal operatør er selvadjoint, hvis og kun hvis dens spektrum ligger på den reelle akse . En normal operator er unitar , hvis og kun hvis dens spektrum ligger på enhedscirklen . [6]
Lignende normale operatorer er ensartet ækvivalente, det vil sige, hvis , hvor er normale operatorer og operatoren er inverterbar , så hvor er en enhedsoperator . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ derfor falder den spektrale radius af den normale operator sammen med dens norm . [2]

Spektralsætning

Enhver normal operator svarer til en familie af projektionsoperatorer , som er additive og multiplikative funktioner af et rektangel, således at $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

og generelt set

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

hvor er et vilkårligt polynomium i og ; for ethvert fast rektangel , er operatoren grænsen for en række polynomier i operatorerne og [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

På baggrund af den spektrale nedbrydning af normale operatorer konstrueres en funktionel calculus for funktionerne

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Tilfældet med et endeligt-dimensionelt rum

I et finit -dimensionelt enhedsrum på ortonormal basis svarer en normal operator til en normal matrix . Den normale operatør har også følgende egenskaber.

En lineær operator er normal, hvis og kun hvis den har et ortonormalt system af egenvektorer .
For en normal operator er hver af operatorerne og repræsenteret som et polynomium fra en anden af operatorerne; desuden bestemmes disse to polynomier ved at specificere egenværdierne for operatoren . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Hvis er et invariant underrum under operatoren , så er dets ortogonale komplement også et invariant underrum for . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
En matrix er normal , hvis og kun hvis den ensartet ligner en diagonal matrix , dvs. hvor er en enhedsmatrix , er en diagonal matrix . [ti] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Ubegrænset operatører

Begrebet en normal operator er generaliseret til ubegrænsede operatorer. En lineær operator (ikke nødvendigvis afgrænset ) i et Hilbert-rum kaldes normal, hvis dens domæne er tæt i , det er lukket og opfylder betingelsen . For en normal operatør , for evt . Nogle andre egenskaber ved den normale operator er også generaliserede, herunder spektralsætningen . [elleve] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \i D(N)$

Se også

Noter

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , s.12.12.
↑ Rudin, 1975 , s.12.16.
↑ Rudin, 1975 , s.12.25.
↑ Rudin, 1975 , s.12.26.
↑ Rudin, 1975 , s.12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 309.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , kapitel 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , kapitel 13.

Litteratur

Sobolev V.I. Normaloperatør // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Forelæsninger om funktionsanalyse. — M .: Mir, 1979. — 592 s.
Rudin W. Funktionsanalyse. — M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2., yderligere .. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1966.