Naturlig logaritme 2

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. juli 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Den naturlige logaritme af 2 i decimalnotation (sekvens A002162 i OEIS ) er ca.

\ln 2\ca. 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

som vist i den første række i tabellen nedenfor. Logaritmen af tallet 2 med en anden grundtal ( b ) kan beregnes ud fra relationen

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

Decimallogaritmen af tallet 2 ( A007524 ) er omtrent lig med

\log _{10}2\ca. 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

Den reciproke af det givne tal er den binære logaritme af 10:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\ca. 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

Nummer	Omtrentlig værdi af den naturlige logaritme	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	sekvens A002162 i OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	sekvens A002391 i OEIS
fire	1,38629436111989061883446424292	sekvens A016627 i OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	sekvens A016628 i OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	sekvens A016629 i OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	sekvens A016630 i OEIS
otte	2,07944154167983592825169636437	sekvens A016631 i OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	sekvens A016632 i OEIS
ti	2,30258509299404568401799145468	sekvens A002392 i OEIS

Ved Lindemann-Weierstrass-sætningen er den naturlige logaritme af ethvert naturligt tal bortset fra 0 og 1 (i almindelighed for ethvert positivt algebraisk tal undtagen 1) et transcendentalt tal .

Det vides ikke, om ln2 er et normalt tal .

Rækkerepræsentation

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( Mercator serien )

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ tfrac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 }{2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 }{2}}.

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\operatørnavn {Li} _{1}\left({\ frac {1}{2}}\right).

( Polylogaritme )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n))}+{\frac {1}{4^{n} }}\right){\frac {1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)))+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\right).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(her betegner γ Euler-Mascheroni-konstanten , ζ er Riemann zeta-funktionen ).

Nogle gange inkluderer denne kategori af formler Bailey-Borwain-Pluff-formlen :

{\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\sum _{k=0 }^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}

Repræsentation som integraler

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ eller tilsvarende }}\int _{1}^{2} {\ frac {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gamma .

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatørnavn {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \operatørnavn {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac {\pi \ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ atten}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

Andre former for talrepræsentation

Peirce-udvidelsen har formen ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Engel nedbrydning ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

Udvidelsen i form af cotangenter har formen A081785

\ln 2=\operatørnavn {ctg} ({\operatørnavn {arcctg} 0-\operatørnavn {arcctg} 1+\operatørnavn {arcctg} 5-\operatørnavn {arcctg} 55+\operatørnavn {arcctg} 14187-\ cdots}).

Repræsentation som en uendelig sum af brøker [1] (fortegnsvekslende harmoniske serier ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots .

Det er også muligt at repræsentere den naturlige logaritme af 2 som en Taylor-serieudvidelse :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Repræsentation som en generaliseret fortsat fraktion : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddotter )))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ ddots }} }}}}}}

Beregning af andre logaritmer

Hvis værdien af ln 2 er kendt , så for at beregne logaritmerne af andre naturlige tal, kan du tabulere logaritmerne af primtal og derefter bestemme logaritmerne af blandede tal c baseret på nedbrydningen til primtalsfaktorer:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ ln 7+\cdots

Tabellen viser logaritmerne for nogle primtal.

primtal	Omtrentlig værdi af den naturlige logaritme	OEIS
elleve	2,39789527279837054406194357797	sekvens A016634 i OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	sekvens A016636 i OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	sekvens A016640 i OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	sekvens A016642 i OEIS
23	3.13549421592914969080675283181	sekvens A016646 i OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	sekvens A016652 i OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	sekvens A016654 i OEIS
37	3,610917912644224444436809567103	sekvens A016660 i OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	sekvens A016664 i OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	sekvens A016666 i OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	sekvens A016670 i OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	sekvens A016676 i OEIS
59	4.07753744390571945061605037372	sekvens A016682 i OEIS
61	4.11087386417331124875138910343	sekvens A016684 i OEIS
67	4,20469261939096605967007199636	sekvens A016690 i OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	sekvens A016694 i OEIS
73	4,29045944114839112909210885744	sekvens A016696 i OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	sekvens A016702 i OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	sekvens A016706 i OEIS
89	4.48863636973213983831781554067	sekvens A016712 i OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	sekvens A016720 i OEIS

På tredje trin beregnes logaritmerne af rationelle tal r = a / b som ln r = ln a − ln b , røddernes logaritmer: ln n √ c = 1/ n ln c .

Logaritmen af 2 er nyttig i den forstand, at potenserne af 2 er ret tæt fordelt: at finde en potens af 2 i , der er tæt på potensen af b j af et andet tal b , er relativt let.

Kendte værdier

Dette er en tabel over seneste poster om beregning af tal . Fra december 2018 har den beregnet flere cifre end nogen anden naturlig logaritme [3] [4] af et naturligt tal undtagen 1. $\ln(2)$

datoen	Antal signifikante cifre	Beregningsforfattere
7. januar 2009	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4. februar 2009	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21. februar 2011	50 000 000 050	Alexander Yee
14. maj 2011	100.000.000.000	Shigeru Kondo
28. februar 2014	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12. juli 2015	250.000.000.000	Ron Watkins
30. januar 2016	350.000.000.000	Ron Watkins
18. april 2016	500.000.000.000	Ron Watkins
10. december 2018	600.000.000.000	Michael Kwok
26. april 2019	1.000.000.000.000	Jacob Riffee
19. august 2020	1 200 000 000 100	Seungmin Kim [5] [6]

Noter

↑ Wells, David. Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . - Penguin, 1997. - S. 29 . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. Om Ramanujan AGM-fraktionen, I: The Real-Parameter Case // Exper . Matematik. : journal. - 2004. - Bd. 13 . - S. 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher - Et flertrådet Pi-program . www.numberworld.org . Hentet 19. februar 2021. Arkiveret fra originalen 16. april 2015. (ubestemt)
↑ Naturlig log af 2 . www.numberworld.org . Hentet 19. februar 2021. Arkiveret fra originalen 9. juli 2021. (ubestemt)
↑ y-cruncher - Et flertrådet Pi-program . web.archive.org (15. september 2020). Dato for adgang: 19. februar 2021. (ubestemt)
↑ Naturlig logaritme af 2 (Log(2) ) . Polymath Collector (19. august 2020). Hentet 19. februar 2021. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2020.

Litteratur

Brent, Richard P. Hurtig flerpræcisionsevaluering af elementære funktioner // J. ACM : journal. - 1976. - Bd. 23 , nr. 2 . - S. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
Uhler, Horace S. Genberegning og udvidelse af modulet og af logaritmerne for 2, 3, 5, 7 og 17 // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal . - 1940. - Bd. 26 . - S. 205-212 . - doi : 10.1073/pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. Om beregningen af Eulers konstant // Mathematics of Computation : journal. - 1963. - Bd. 17 . - S. 170-178 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Binære BBP-formler for logaritmer og generaliserede Gauss-Mersenne-primtal (engelsk) // Journal of Integer Sequences : journal. - 2003. - Bd. 6 . — S. 03.3.7 . Arkiveret fra originalen den 6. juni 2011.
Gourevitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesus. Konstruktion af binomiale summer for π og polylogaritmiske konstanter inspireret af BBP-formler // Applied Math. E-Noter: journal. - 2007. - Bd. 7 . - S. 237-246 .
Wu, Qiang. Om det lineære uafhængighedsmål for logaritmer af rationelle tal // Mathematics of Computation : journal. - 2003. - Bd. 72 , nr. 242 . - S. 901-911 . - doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Links

Weisstein, Eric W. Naturlig logaritme af 2 hos Wolfram MathWorld .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal Logaritmekonstanten:log 2 . (ubestemt)

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk