Chebyshev polynomier

Chebyshev polynomier af den første slags
generel information
Formel	$T_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\lgulv n/2\rgulv }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
Skalært produkt	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Domæne	$[-1,1]$
yderligere egenskaber
Opkaldt efter	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Chebyshev polynomier af anden art
generel information
Formel	$U_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\lgulv n/2\rgulv }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
Skalært produkt	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Domæne	$[-1,1]$
yderligere egenskaber
Opkaldt efter	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Chebyshev polynomier - to sekvenser af ortogonale polynomier og opkaldt efter Pafnuty Lvovich Chebyshev : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\dots \},$

Chebyshev-polynomiet af den første slags karakteriseres som et gradspolynomium med den højeste koefficient , som afviger mindst af alle fra nul på intervallet . Først overvejet af Chebyshev selv. $T_{n}(x)$ $n$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

Chebyshev-polynomiet af den anden art er karakteriseret som et gradspolynomium med den højeste koefficient , hvis integrale af den absolutte værdi over segmentet tager den mindst mulige værdi. For første gang overvejet i det fælles arbejde af to studerende af Chebyshev- Korkin og Zolotarev . $U_{n}(x)$ $n$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Chebyshev polynomier spiller en vigtig rolle i tilnærmelsesteori , da rødderne af Chebyshev polynomier af den første slags bruges som noder i interpolation af algebraiske polynomier .

Definitioner

Tilbagevendende formler

Chebyshev polynomier af den første slags kan defineres ved hjælp af den rekursive relation : $T_{n}(x)$

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Chebyshev polynomier af den anden slags kan defineres ved hjælp af den rekursive relation: $U_{n}(x)$

U_{0}(x)=1

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Eksplicitte formler

Chebyshev polynomier er løsninger til Pells ligning :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

i ringen af polynomier med reelle koefficienter og opfylder identiteten:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^ {n}.

Den sidste identitet indebærer også eksplicitte formler:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\sum _{{k=0}}^{{\lgulv n/2\rgulv }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{{k=0}}^{{\lgulv n/2\ rgulv }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Forhold

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

de der. Chebyshev polynomier af den første slags, med multiplikationsreglen , danner en semigruppe isomorf til den multiplikative semigruppe af ikke-negative heltal. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\ gange T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Trigonometrisk definition

Chebyshev polynomier af den første slags kan også defineres ved hjælp af ligheden $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

eller næsten tilsvarende,

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Chebyshev polynomier af den anden slags kan også defineres ved hjælp af ligheden $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Eksempler

Flere første Chebyshev polynomier af den første slags

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Flere første Chebyshev polynomier af den anden slags

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Egenskaber

Chebyshev polynomier har følgende egenskaber:

Polynomier af lige grader er lige funktioner , ulige-ulige funktioner.
Summen af koefficienterne for Chebyshev polynomier af den første slags er 1, og koefficienterne for polynomier af den anden slags er . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonalitet i forhold til det tilsvarende indre produkt (med vægt for polynomier af den første slags og for polynomier af anden art). ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2))))$ ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2))))$
Blandt alle polynomier, hvis værdier på intervallet ikke overstiger 1 i absolut værdi, har Chebyshev-polynomiet: $[-1,1]$
- den største seniorkoefficient,
- største værdi på ethvert punkt udenfor , $[-1,1]$
- hvis , så , hvor er koefficienten for et Chebyshev polynomium af den første slags, er koefficienten for enhver af de betragtede polynomier. $n\equiv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $t_k$ $a_{k}$
Nuller af Chebyshev polynomier er optimale noder i forskellige interpolationsskemaer. For eksempel i metoden med diskrete funktioner, som ofte bruges i studiet af integralligninger i elektrodynamik og aerodynamik.
I enderne og i midten af segmentet gælder følgende relationer: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{aligned}}$
Chebyshev-polynomiet af den første type grad N er et specialtilfælde af Lissajous-figurer med et frekvensforhold lig med N og en amplitude af begge signaler lig med 1.
Chebyshev polynomier af den første og anden slags svarer til et par af Lucas-sekvenser og med parametre : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ $(P,Q)=(2x,1)$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
Chebyshev-polynomiet af den første gradsart har den største buelængde på et segment i klassen af alle gradpolynomier, således at maksimum af deres modul på dette segment ikke overstiger og ikke er identisk lig med en konstant [1 ] $n$ $[-1,1]$ $n$ $en$

Ansøgninger

Approksimationsteori

Chebyshev-polynomier af den første slags bruges til tilnærmelse af en funktion (Chebyshev-serien), hvis andre metoder til at beregne funktionen er tidskrævende, eller dens analytiske form er ukendt (f.eks. hvis funktionen er givet af en tabel, der er kompileret på baseret på eksperimentelle data). For at gøre dette skal definitionsdomænet for den tilnærmede funktion være på en ret simpel måde, for eksempel lineært afbildet til ortogonalitetsintervallet for de tilnærmende polynomier, i dette tilfælde er det . For eksempel for en tabeldefineret funktion: $[-1,1]$

l\colon X_{i}\to [-1,1],

hvor er en lineær mapping, er domænet for definition af punkter. $l$ $X_{i}$

En tilnærmelse af kontinuerligt givne funktioner opnås ved at kassere vilkårene for Chebyshev-serien, hvis værdi er mindre end den ønskede fejl i resultatet. Approksimationsfunktionen kan også skrives som et polynomium i . I modsætning til tilnærmelser opnået ved brug af andre potensrækker, minimerer denne tilnærmelse antallet af led, der kræves for at tilnærme en funktion med et polynomium med en given nøjagtighed. Beslægtet hermed er også den egenskab, at tilnærmelsen baseret på Chebyshev-serien viser sig at være ret tæt på den bedste ensartede tilnærmelse (blandt polynomier af samme grad), men den er lettere at finde. $x$

Et eksempel på en kortlægning , der kortlægger et givet interval til arealet af ortogonalitet af polynomier, $l$

l\colon [x_{\text{min)),x_{\text{max))]\til [-1,1],

kunne være en funktion

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min. }}}}.

Beregning af antenne arrays

Chebyshev polynomier bruges til at beregne antenne array . Hver antennes strålingsstyrke beregnes ved hjælp af Chebyshev-polynomier. Dette giver dig mulighed for at styre formen af strålingsmønsteret , eller rettere forholdet mellem amplituden af hoved- og sidesløjferne.

Anvendelser i filtreringsteori

Chebyshev polynomier bruges også i den teoretiske konstruktion af filtre . I den generelle formel for amplitude-frekvenskarakteristikken

$\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\right)}}}$

som udtryk for formen eller er substitueret , hvor er krusningsindekset, der opnår henholdsvis frekvensresponsen for Chebyshev-filtrene af I eller II slags orden . $f(x)$ $\varepsilon T_{n}(x)$ $\left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1}$ $\varepsilon$ $n$

Variationer og generaliseringer

Spørgsmålet om polynomier af minimumsnormen med faste koefficienter ved to højere grader blev senere overvejet af Zolotarev , de polynomier, han fandt, kaldes Zolotarev-polynomier .
Faber polynomier

Noter

↑ Bakan A. Om en ekstremal egenskab ved Chebyshev polynomier // Matematik i dag. Videnskabelig samling / Udg. prof. A. Ya. Dorogovtseva . - Kiev, Vishcha skole, 1982. - S. 167-172.

Litteratur

Vasil'ev, N. Chebyshev polynomier og tilbagevendende relationer / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - Nr. 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Functions of Mathematical Physics / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et al. ] . — M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Chebyshev-polynomier og deres inversioner // Mathematical Education . - 2013. - Udgave. 17. - S. 93-106.
Foredrag 7 i Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Matematisk divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier