Kravchuk polynomier

Kravchuk polynomier
generel information
Formel	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
Skalært produkt	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Domæne	$x\in {1,2,...N}$
yderligere egenskaber
Opkaldt efter	Kravchuk, Mikhail Filippovich

Kravchuks polynomier ( M. F. Kravchuk , 1929 ) er klassiske ortogonale polynomier af en diskret variabel på et ensartet gitter, for hvilke ortogonalitetsrelationen ikke er et integral , men en række eller en endelig sum :. $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Her er vægtfunktionen, er den kvadratiske norm ,. For vægtfunktionen, op til en konstant faktor, reduceres til den binomiale koefficient . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n))))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\left/2\right.$ $1\left/2^{N}\right.$

Gentagelsesrelationen for disse polynomier har formen . $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\venstre(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$

Ved simple transformationer kan det reduceres til formen

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\venstre(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

hvor

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N))},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN))},\ quad \varepsilon =r(pq),\quad \Delta =-rpN.$

Kravchuk polynomier kan udtrykkes i form af den Gaussiske hypergeometriske funktion :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n,-x;-N;1/p)$

I grænsen ved går Kravchuk polynomier over til Hermite polynomier : $N\til \infty$

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt) {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$

De første fire polynomier for det enkleste tilfælde er: $p=q=1/2$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\venstre(N^{2 }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Litteratur

Sur une generalization des polynomes d'Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. sci. 1929. T.189, nr.17. S.620 - 622 - artiklen, hvori Kravchuks polynomier blev introduceret for første gang; den franske original og oversættelser til engelsk og russisk er tilgængelige på linket.
A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, V. B. Uvarov. Klassiske ortogonale polynomier af en diskret variabel. Moskva, "Nauka", 1985.
Krawtchouk Polynomials Hjemmeside er et websted dedikeret til Krawtchouk polynomier og indeholder især en omfattende bibliografi.

Se også

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier