Gegenbauer polynomier

Gegenbauer polynomier
generel information
Formel	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lgulv n/2\rgulv }{\frac {(-1)^{k}(\ alpha )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
Skalært produkt	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Domæne	$[-1,1]$
yderligere egenskaber
Differentialligning	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alpha )f=0$
Norm	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha) }{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}$
Opkaldt efter	Leopold Gegenbauer

Gegenbauer polynomier eller ultrasfæriske polynomier i matematik er polynomier ortogonale på intervallet [−1,1] med en vægtfunktion . De kan udtrykkeligt repræsenteres som ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lgulv n/2\rgulv}(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

hvor er gammafunktionen og angiver heltalsdelen af tallet n/2 . $\Gamma (s)$ $\lfloor n/2\rfloor$

Gegenbauer polynomier er en generalisering af Legendre og Chebyshev polynomier og er et specialtilfælde af Jacobi polynomier . Gegenbauer-polynomierne er også relateret til repræsentationen af den specielle ortogonale gruppe [1] . De er opkaldt efter den østrigske matematiker Leopold Gegenbauer (1849-1903). $SO(n)$

Generering af funktion og partielle værdier af argumentet

Gegenbauer polynomier kan defineres i form af genereringsfunktionen [2] :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Da genereringsfunktionen ikke ændres med den samtidige udskiftning af , , så $z\to -z$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

hvoraf det følger, at for lige n indeholder Gegenbauer-polynomierne kun lige grader af z , og for ulige n kun ulige grader af z .

Gennem genereringsfunktionen kan man opnå værdierne af Gegenbauer polynomier ved z=1 og z=0 som ekspansionskoefficienter og hhv. ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha ))$ ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha ))$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(for lige n ), (for ulige n ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

hvor standardnotationen for Pochhammer-symbolet bruges ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Tilbagevendende forhold og særlige tilfælde

Gegenbauer polynomier opfylder følgende gentagelsesrelation , som kan bruges til at konstruere polynomier med : $n\geq 2$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].

Især [3] ,

{\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}

og så videre.

Differentialligning og relation til andre funktioner

Gegenbauer-polynomierne opfylder Gegenbauers differentialligning [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

Når denne ligning reduceres til Legendre-differentialligningen og følgelig reduceres Gegenbauer-polynomierne til Legendre-polynomier . $\alpha ={\tfrac {1}{2))$

Gegenbauer polynomier kan udtrykkes i form af en endelig hypergeometrisk række

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\venstre( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right).

Gegenbauer polynomier er et specialtilfælde af Jacobi polynomier c : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).

Den afledte af Gegenbauer-polynomiet udtrykkes i form af et polynomium med forskudte indekser

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alpha +1)}(z).

De kan udtrykkes i form af Rodrigues formlen

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\venstre[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right ] .

Ortogonalitet og normalisering

For et givet , er Gegenbauer-polynomierne ortogonale på intervallet [−1,1] med vægtfunktionen , dvs. (for n ≠ m ) [5] , $\alfa$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

De er normaliseret som [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.

Kompleks argumentation

Hvis , hvor og er reelle variabler (og er også reelle), så kan de reelle og imaginære dele af Gegenbauer polynomier udtrykkes som følger: $z=x+{\rm {i}}y$ $x$ $y$ $\alfa$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lgulv n/2\rgulv }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lgulv (n-1)/2\rgulv }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Se også

Noter

↑ Vilenkin, 1991 , s. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , s. 441.

Litteratur

Suetin PK Klassiske ortogonale polynomier . - M. : Fizmatlit, 2007. - 480 s. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Specialfunktioner og grupperepræsentationsteori / Kap. udg. Fysisk.-Matematik. tændt. - 2. udg., rettet. — M .: Nauka, 1991. — 576 s. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Se kapitel 22

Links

Gegenbauer Funktion , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial , MathWorld - mathworld.wolfram.com

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier