Faber polynomier

Faber polynomier er en generalisering af Chebyshev polynomier .

Definition

Lad - et afgrænset kontinuum - være et afgrænset ikke-tomt forbundet sæt, der indeholder mere end et punkt. Og er den af de regioner, der støder op til, som den hører til . er et enkelt forbundet område af det udvidede plan , hvis grænse er en del af kontinuummet . $K$ ${\displaystyle g_{\infty ))$ $K$ $z=\infty$ $g_{\infty }\equiv D$ ${\displaystyle \Gamma _{\infty ))$ $K$

Området afbildes konformt til ydersiden af en cirkel, der er centreret i et punkt af en funktion, således at to betingelser er opfyldt: ${\displaystyle g_{\infty ))$ $w=0$ $w=\Phi (z)$

\Phi (\infty )=\infty

\lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0

hvor funktionen er entydigt defineret. Det følger af disse forhold, at funktionen , der er analytisk i regionen , bortset fra punktet , har en simpel pol ved punktet , og derfor har dens Laurent-udvidelse i et eller andet område af punktet formen $\Phi (z)$ $w=\Phi (z)$ $D$ $z=\infty$ $z=\infty$ $z=\infty$

\Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .

Faber-polynomiet af n'te orden genereret af kontinuumet kaldes polynomiet $K$

\Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2 }^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}

som er udtryk med ikke-negative kræfter i Laurent-udvidelsen af funktionen i nærheden af punktet i det uendelige. $z$ ${\displaystyle \Phi (z)^{n))$

Egenskaber

Chebyshev polynomier er et specialtilfælde af Faber polynomier for . $K=[-1;1]$

Faber polynomier

Definition

Egenskaber

Links