Logistisk distribution

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; verifikation kræver 1 redigering .

Logistisk distribution
Sandsynlighedstæthed
distributionsfunktion
Betegnelse	$L(\mu,s)$
Muligheder	$\mu$ $s>0$
Transportør	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Sandsynlighedstæthed	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$
distributionsfunktion	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$
Forventet værdi	$\mu$
Median	$\mu$
Mode	$\mu$
Spredning	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$
Asymmetrikoefficient	$0$
Kurtosis koefficient	$6/5$
Differentiel entropi	$\ln(s)+2$
Genererende funktion af momenter	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ for , Beta-funktion $\|s\,t\|<1$
karakteristisk funktion	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ til $\|ist\|<1$

Logistisk fordeling i sandsynlighedsteori og matematisk statistik er en af typerne af absolut kontinuerte fordelinger . Formen ligner en normalfordeling , men har mere "tunge" ender og en større kurtosiskoefficient .

Definition

Tæthedsfunktion

Den logistiske fordelings sandsynlighedstæthedsfunktion er givet ved formlen:

f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s }\right)^{2}}}

={\frac {1}{4\,s}}\;\operatørnavn {sech}^{2}\!\venstre({\frac {x-\mu }{2\,s}}\højre).

En alternativ parametrisering gives ved substitution . Så har tæthedsfunktionen formen: $\sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3$

g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3 }}}}\,\operatørnavn {sech}^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\,{\frac {x-\mu }{ \sigma}}\right).

Distributionsfunktion

Den kumulative distributionsfunktion er den logistiske funktion :

{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))

={\frac 12}+{\frac 12}\;\operatørnavn {tanh}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).

Kvantiler

Den inverse funktion til den kumulative fordelingsfunktion ( ), en generalisering af logit -funktionen: $F^{-1}$

F^{{-1}}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \venstre({\frac {p}{1-p}}\højre).

Fordelingsmomenter

Matematisk forventning

\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+ e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2))}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s }}\;\operatørnavn {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx

Vi erstatter:

u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx

\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatørnavn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du

\mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatørnavn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\ frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatørnavn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du

Den rette ligestilling er:

\int _{{-\infty }}^{{\infty }}u\;\operatørnavn {sech}^{2}\!\left(u\right)du=0

\mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatørnavn {sech} ^{2}\!\ venstre(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu

Øjeblikke af højere orden

Det centrale moment af n . orden kan beregnes som:

{\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n }dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{ n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{ n}\,dp.\end{aligned}}

Integralet kan udtrykkes i form af Bernoulli-tal :

\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.

Litteratur

N. Balakrishnan (1992). Håndbog i den logistiske distribution . Marcel Decker, New York. ISBN 0-8247-8587-8 .
Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Kontinuerlige Univariate distributioner . Vol. 2 (2. udg. udg.). ISBN 0-471-58494-0 .

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula