Lagrangian

Lagrangian , Lagrange-funktionen af et dynamisk system , er en funktion af generaliserede koordinater og beskriver systemets udvikling. For eksempel er bevægelsesligningerne (for klassisk mekanik) i denne tilgang afledt af princippet om mindste handling , skrevet som ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ $\ \varphi _{i}(r)$

{\frac {\delta {\mathcal {S))}{\delta \varphi _{i))}=0,

hvor handling er en funktionel ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

a - generaliserede koordinater (f.eks. partikelkoordinater eller feltvariable), betegner et sæt systemparametre, i tilfælde af klassisk mekanik - uafhængige rumlige koordinater og tid, og mere generelt elektriske eller andre fysiske parametre. Opkaldt efter Joseph Louis Lagrange . $\varphi _{i}$ $\s_{j}$

Ligningerne opnået ved at sætte den funktionelle afledede af den funktionelle i alle retninger til nul er identiske med de sædvanlige Euler-Lagrange ligninger . Dynamiske systemer, hvis ligninger kan opnås via princippet om mindste handling for en bekvemt valgt Lagrange-funktion, er kendt som Lagrangiske dynamiske systemer .

Der er mange eksempler på lagrangiske dynamiske systemer, lige fra den klassiske version af Standardmodellen i partikelfysik til Newtons ligninger i klassisk mekanik (se Lagrangiansk mekanik ). Også inkluderet i dette område er rent matematiske problemer såsom problemet med at finde ligningerne for geodetik og Plateau-problemet .

Gennem Legendre-transformationen er Lagrangian relateret til Hamiltonian (hvor momenta er taget som grundlag ). Den Hamiltonske formulering af klassisk mekanik er baseret på Hamiltonian.

Et eksempel fra klassisk mekanik

Begrebet Lagrange-funktionen blev oprindeligt introduceret for at omformulere klassisk mekanik i formen kendt som Lagrangiansk mekanik . I denne sammenhæng tages Lagrange-funktionen normalt som forskellen mellem de kinetiske og potentielle energier i et mekanisk system.

Lad rummets dimension være lig med tre og Lagrange-funktionen skrives i formen

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {{\vec {x}}}}^{2}-V({\vec {x}} ),

hvor den tidsafledede er angivet med et punkt over den differentierbare størrelse, er radiusvektoren for partiklen, er dens masse og er den potentielle energi. Så bliver Euler-Lagrange- ligningen ${\vec {x}}$ $m$ $V$

m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,

hvor er gradienten . $\nabla V$

Ved at bruge dette resultat kan man nemt vise, at denne tilgang svarer til Newtons. Vi skriver kraften i form af potentialet , så får vi ligningen , som ligner Newtons ligning med konstant masse. Simple beregninger vil føre os til udtrykket , som er Newtons anden lov i dens generaliserede form. $F$ ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ ${\vec {F}}=m{\ddot {{\vec {x}}}}$ ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$

For et tredimensionelt system med sfæriske koordinater r , θ, φ med Lagrangian

{\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{ 2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)

følgende Euler-Lagrange ligninger kan opnås:

m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0 ,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2 }=0,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.

Den klassiske relativistiske Lagrangian af en fri partikel

Den klassiske (ikke-kvante, bl.a. ignorerende spin ) Lagrangian af en fri partikel i relativitetsteorien falder sammen (op til et tegn) med vækstraten for længden af dens verdenslinje i Minkowski-rummet (det vil sige, med hastigheden af ændring af korrekt tid ), multipliceret med massen af partiklen og med kvadratet af lysets hastighed : $m$ $c$

{\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},

hvor er den sædvanlige tredimensionelle hastighed af partiklen. $v$

Fra denne Lagrangian følger den klassiske dynamik af relativistiske partikler ( relativistisk dynamik ).

Lagrangianer og lagrangiske tætheder i feltteori

I klassisk og kvantefeltteori skelnes der mellem det lagrangske L , hvor handlingen kun udtrykkes som et integral over tid.

S=\int {L\,dt},

og tætheden af Lagrangian , som skal integreres over hele den firedimensionelle (og i nogle teorier endnu mere multidimensionelle ) rumtid: $\mathcal{L}$

S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.

Så er Lagrangian integralet over rumvariabler af tætheden af Lagrangian.

For nylig er tætheden af Lagrangian ofte blot omtalt som Lagrangian; dette er nyttigt i relativistiske teorier, da det er lokalt defineret. Denne definition af begreber er naturligvis et alternativ til den, der er givet i begyndelsen af afsnittet. Ofte indføres der også en sondring mellem Lagrange- og Lagrange-funktionen, idet man forstår sidstnævnte som integralet af Lagrangian over rummet. $\mathcal{L}$

Begge definitioner af Lagrangian kan fås som særlige tilfælde af den generelle definition, afhængig af om de rumlige variable indgår i indekset eller i parametrene i . Kvantefeltteorier inden for partikelfysik , såsom kvanteelektrodynamik , beskrives normalt i form af . Denne formular er praktisk, da den hurtigt oversættes til de regler, der bruges til at evaluere Feynman-diagrammer . ${\vec x}$ $jeg$ $s$ $\varphi _{i}(r)$ $\mathcal{L}$

Elektromagnetisk lagrange

I dette afsnit taler vi om rent klassisk (ikke kvante) elektrodynamik (den kvanteelektrodynamiske Lagrangian er beskrevet i de følgende afsnit), især hvad der blev sagt om et ladet stof, som et elektromagnetisk felt interagerer med - dvs. interaktionsled og Lagrangian af selve stoffet (lagrangian af det frie elektromagnetiske felt er generelt det samme i klassisk og kvanteteori).

Elektrostatik

Elektrostatik er fysikken i statiske (det vil sige konstante) elektriske felter, som kan (tilnærmelsesvis eller nøjagtigt) beskrives ved et skalar [1] potentiale, og et ret langsomt bevægende ladet stof, som således adlyder den newtonske mekanik.

I klassisk mekanik er Lagrangian

{\mathcal {L}}=TV,

hvor er den kinetiske energi og er den potentielle energi. $T$ $V$

For en ladet partikel med masse og ladning placeret i et elektrisk (elektrostatisk) felt med et skalarpotentiale , er den kinetiske energi givet ved udtrykket $m$ $q$ $\varphi \$

T_{s}={1 \over 2}m{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {v}}

- for én partikel (for mange er summen taget).

Feltets interaktionsenergi med et ladet stof ser ud

V=q\varphi \

for et punktopladning (tilføjer for mange),

eller

V=\int \rho \varphi \dxdydz

— i form af kontinuerlig afgiftsfordeling.

(Det viser sig at være nyttigt at udskrive begge typer separat, selvom de selvfølgelig reducerer til hinanden, hvis du bruger deltafunktionen ). Feltenergien indgår i det kinetiske energiudtryk sammen med partiklernes kinetiske energi [2] , skrevet som:

T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,

hvor er "kraftkonstanten", som i sidste ende indgår i Coulombs lov . $\varkappa$

Således er Lagrangian af elektrostatik, som inkluderer den kinetiske energi af (langsom) bevægelse af ladede partikler, som følger:

{\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},

(hvert medlem af det er skrevet ud ovenfor).

Naturligvis kan denne Lagrangian, om nødvendigt, suppleres med andre udtryk, der beskriver ikke-elektriske kræfter, for eksempel med elasticitetsenergien osv.

Ved at variere handlingen med Lagrangian beskrevet i dette afsnit [3] er det let at opnå feltligningen for elektrostatik ( Poissons ligning ):

\nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho

og ligningen for bevægelse af en partikel i et elektrostatisk felt (almindeligvis sammenfaldende med det, der er opnået i eksemplet for en klassisk partikel i begyndelsen af artiklen):

m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .

Elektrodynamik

3D-formulering

I tilfælde af elektrodynamik skal man ikke bruge den klassiske potentielle energi, men den generaliserede (afhængigt af hastighederne) potentielle energi (interaktionsenergien):

V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,

eller

V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,

hvor er lysets hastighed , er partiklens hastighed, j er strømtæthedsvektoren , A er vektorpotentialet . $c$ $v$

Energien af det elektromagnetiske felt bør også omfatte, sammenlignet med tilfældet med elektrostatik, også energien af det magnetiske felt [4] :

T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,

hvor vektorerne for den elektriske feltstyrke E og den magnetiske feltstyrke H skal betragtes som udtrykt i form af skalarpotentialet og vektorpotentialet A : $\varphi$

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)),

\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .

Så kan den elektromagnetiske Lagrangian skrives i formen

L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.

eller

L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c)))dxdydz+T_{s}.

Her kan man som stoffets Lagrangian bruge det tilnærmede udtryk for langsomme partikler, som beskrevet i afsnittet om elektrostatik, eller man kan bruge (da for elektrodynamik, som ikke er begrænset til langsomme bevægelser, er dette generelt set relevant ) den relativistiske Lagrangian for hurtige partikler $T_{s}$

T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}.

Som i tilfældet med elektrostatik kan der om nødvendigt tilføjes yderligere termer, der beskriver ikke-elektromagnetiske kræfter, andre felter osv. til denne Lagrangian, hvilket dog går ud over omfanget af problemet med at beskrive den elektromagnetiske Lagrangian. Strengt taget går udskrivning af et stofs kinetiske energi også ud over disse grænser, men vi skrev det ud, så beskrivelsen bevarer sin integritet.

Når man varierer handlingen med denne Lagrangian i φ og in (uafhængigt for hver, ved at bruge den anden form for at skrive Lagrangian), opnås Maxwells ligninger , og når man varierer i koordinaterne for ladede partikler - ved hjælp af den første form for skrivning - ligningerne bevægelse af ladede partikler i et felt, hvilket reducerer til: $A_{x},A_{y},A_{z}$

d{\mathbf p}/dt={\mathbf F}_{L},

hvor p er partiklens (tredimensionelle) momentum, er Lorentz-kraften (inklusive det elektriske led). ${\mathbf F}_{L}$

Den enkleste og korteste måde at opnå en sådan udledning på er dog i den firedimensionelle formulering (se nedenfor).

Firedimensionel formulering

I en firedimensionel formulering ser tætheden af det elektromagnetiske felts lagrangian , dets interaktion med et ladet stof og (for at fuldende billedet) selve stoffet sådan ud (ved hjælp af c = 1 -enhedssystemet ):

L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{{ik}}F^{{ik}}+A_{i}j^{i}+L_{s}.

Det andet led (som beskriver interaktionen) kan omskrives, så den tilsvarende handling er:

S_{{int}}=-\int qA_{i}dx^{i}.

( Udtrykket er den sædvanlige tæthed af Lagrangian af en hurtig - i det generelle tilfælde - partikel; det kan ikke skrives eksplicit, da det ikke er nødvendigt for den klassiske teori, da det behøver Lagrangian af en sådan partikel, skrevet ud som sædvanlig - se ovenfor - og ikke dens tæthed). $L_{s}$

Her er den elektromagnetiske felttensor (lagrangian inkluderer dens foldning, kvadratet), er 4-potentialet , er den firedimensionelle strømtæthed , er 4-koordinaten for punktet i regionen, hvor integrationen udføres; Einsteins regel om summering over et gentaget indeks er underforstået . $F^{{ik}}$ $A_{i}$ $j^{i}$ $x^i$

Ved at variere med , opnås Maxwells ligninger let i firedimensionel form: $A_{i}$

\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},

og ved at variere i - bevægelsesligningen for partiklen: $x^i$

dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,

hvor er 4-momentum , er 4-speed . $p_{i}=mu_{i}$ $u^{k}$

Kvantefeltteoriens Lagrangian

Kvantefeltteoriens Lagrangian (QFT) falder grundlæggende sammen med den klassiske, bortset fra de tilfælde, hvor det er vanskeligt at indføre klassiske analoger for en del af feltvariablerne eller at fortolke dem korrekt; men selv da er det normalt muligt, i det mindste rent formelt, at opnå det, der kaldes de klassiske bevægelsesligninger ved i stedet for en eller anden procedure til at kvantisere feltet med en given Lagrangian, tilnærmelsen af den stationære fase ( stationær handling ) - altså ved at finde den klassiske tilnærmelse af beskrivelsen af systemet.

Lagrangianerne skrevet nedenfor er således ikke i en vis forstand kun specifikke for kvanteteorien for de tilsvarende felter; ikke desto mindre bruges de i QFT og repræsenterer i en vis henseende dets grundlag.

Kvanteelektrodynamikkens Lagrangian

Lagrangisk tæthed for kvanteelektrodynamik (QED):

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\ikke \!\,Dm)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu},

hvor er spinoren (fire-dimensionel), er dens Dirac-konjugation , er tensoren for det elektromagnetiske felt , D er den kovariante afledte gauge og er Feynman-notationen for . $\psi$ ${\bar \psi }=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu))$ $\ikke \!\,D$ $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$

Dirac's Lagrangian

Densitet af Lagrangian for Dirac-feltet

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\ikke \!\;\partial -m)\psi .

Lagrangian af kvantekromodynamik

Lagrangisk tæthed for kvantekromodynamik [5]

{\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu}-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n},

hvor er den kovariante afledte af QCD og er tensoren for gluonfeltstyrken . ${\displaystyle D_{\mu ))$ ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu ))$

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for Lagrange-ligningens eksistens og unikke

I klassisk mekanik er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for Lagrange-ligningens eksistens og unikke [6] . $det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\ højre\|_{j,k=1}^{n}\neq 0$

Noter

↑ Her mener vi selvfølgelig en skalar af almindeligt tredimensionelt rum og ikke en invariant af Lorentz-transformationerne.
↑ Dette bestemmes af det fortegn, der skal opnås som et resultat i bevægelsesligningerne og af, at man af visse grunde ønsker at have en positiv feltenergi. Alt dette kan begrundes mere eller mindre strengt, men her begrænser vi os til de netop fremlagte simple betragtninger.
↑ For at opnå feltligningen er det mere bekvemt at bruge interaktionen Lagrangian udtrykt i , for at opnå bevægelsesligningen for en partikel i feltet - i form af en punktpartikels position (i form af ). $\rho$ $q\varphi$
↑ Spørgsmålet om tegn, som det blev gjort ovenfor for det elektrostatiske felt, vil ikke blive diskuteret i detaljer her, selv om der findes en ret streng begrundelse, der igen begrænser sig til den iagttagelse, at det netop er sådanne tegn, der giver de nødvendige tegn i den endelige ligninger.
↑ Kvantekromodynamik (QCD) . Hentet 21. februar 2006. Arkiveret fra originalen 9. juli 2011. (ubestemt)
↑ Aizerman M. A. Klassisk mekanik. - M., Nauka, 1980. - s. 165

Litteratur

Historiske publikationer

J. Lagrange . Analytisk mekanik. - M. - L .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1950. - 594 s.

Kurser i teoretisk fysik

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mekanik. - 5. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — (“Teoretisk fysik”, bind I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Field Theory (Theoretical Physics, bind II ). — M. : Fizmatlit, 2003. — 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 .

Lagrangian

Et eksempel fra klassisk mekanik

Den klassiske relativistiske Lagrangian af en fri partikel

Lagrangianer og lagrangiske tætheder i feltteori

Elektromagnetisk lagrange

Elektrostatik

Elektrodynamik

Kvantefeltteoriens Lagrangian

Kvanteelektrodynamikkens Lagrangian

Dirac's Lagrangian

Lagrangian af kvantekromodynamik

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for Lagrange-ligningens eksistens og unikke

Links

Noter

Litteratur