Rødder fra enhed

Enhedens n'te rødder er polynomiets komplekse rødder , hvor . Med andre ord er disse komplekse tal, hvis n'te potens er lig med 1. Generelt betragtes rødderne af et polynomium ikke kun i et komplekst, men også i et vilkårligt andet felt , hvis karakteristika ikke er en divisor af graden af polynomiet [1] . $x^n-1$ $n\geqslant 1$ $x^{n}-1$ $s$ $n$

Enhedens rødder er meget brugt i matematik, især i talteori , den hurtige Fourier-transformation [2] , teorien om feltudvidelser , teorien om konstruktioner med kompasser og en lineal , grupperepræsentationer .

Præsentation

Vi repræsenterer den komplekse enhed i trigonometrisk form:

1=\cos 0+i\sin 0.

Derefter får vi ifølge Moivre-formlen et udtryk for den -te rod af den n'te enhedsgrad : $k$ $u_{k}$

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n))+i\sin {\frac {2\pi k}{n)),\quad k=0,1,\ prikker ,n-1.

Enhedens rødder kan også repræsenteres i eksponentiel form:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.

Af disse formler følger det, at de n'te rødder til enhed altid er nøjagtig , og de er alle forskellige. $n$

Eksempler

Enhedens kuberødder:

\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}} \ret\}.

Enhedens fjerde rødder:

\left\{1,+i,-1,-i\right\}.

For den 5. rod er der 4 generatorer, hvis styrker hver dækker alle rødderne af 5. grad:

{\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \))=\venstre\{\venstre.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}} {8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.

For den 6. rod er der kun to generatorer ( og ): $u_{1}$ $u_{5}$

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\} .

Egenskaber

Geometriske egenskaber

Modulet for hver rod er 1. I det komplekse plan danner enhedsrødder hjørnerne af en regulær polygon indskrevet i enhedscirklen . Et af hjørnerne er altid en kompleks enhed. Der kan enten være to reelle rødder, hvis lige (én og minus én), eller én (én), hvis ulige. Under alle omstændigheder er der et lige antal ikke-ægte rødder , de er placeret symmetrisk om den vandrette akse. Det sidste betyder, at hvis er en enhedsrod, så er dets konjugerede tal også en enhedsrod. $1+0i.$ $n$ $n$ $u_{k}$ ${\displaystyle {\overline {u_{k))))$

Lad M være et vilkårligt punkt på enhedscirklen og Så er summen af kvadratiske afstande fra M til alle enhedsrødderne [3] . $n>1.$ $n$ $2n$

Algebraiske egenskaber

Enhedens rødder er algebraiske heltal .

Enhedens rødder danner ved multiplikation en kommutativ endelig ordensgruppe . Især er enhver heltalsmagt af en enhedsrod også en enhedsrod. Det omvendte element for hvert element i denne gruppe falder sammen med dets konjugat. Det neutrale element i gruppen er den komplekse enhed. $n$

Gruppen af enhedsrødder er isomorf i forhold til den additive gruppe af restklasser . Det følger heraf, at det er en cyklisk gruppe; som en generator ( antiderivativ ) kan man tage ethvert element , hvis indeks er coprime med . $\mathbb {Z} _{n}.$ $u_{k}$ $k$ $n$

Konsekvenser:
- elementet er altid et primitivt (det kaldes ofte hovedroden til enhed); $u_{1}$
- hvis er et primtal , så dækker graderne af enhver rod, undtagen , hele gruppen (det vil sige alle rødder undtagen , er antiderivater); $n$ $\pm 1$ $\pm 1$
- antallet af primitive rødder er , hvor er Euler-funktionen . $\varphi (n)$ $\varphi$

Hvis , så gælder følgende formler for enhver primitiv enhedsrod : $n>1$ $u$

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,

\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.

Cirkulære felter

Cirkulært felt , eller feltet til at dividere en cirkel af grad n , er et felt, der genereres ved at tilføje den primitive rod af den n . enhedsgrad til feltet af rationelle tal . Cirkelfeltet er et underfelt af det komplekse talfelt; den indeholder alle de n'te rødder til enhed, såvel som resultaterne af aritmetiske operationer på dem. $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ $\mathbb {Q}$ $u$

Studiet af cirkulære felter spillede en væsentlig rolle i skabelsen og udviklingen af teorien om algebraiske heltal , talteori og Galois-teori .

Eksempel: består af komplekse tal på formen , hvor er rationelle tal. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\,i$ $a,b$

Kronecker-Webers sætning : Enhver abelian finit forlængelse af feltet med rationelle tal er indeholdt i et cirkulært felt.

Generaliseringer

Rødder af enhed af n . grad kan defineres ikke kun for komplekse tal, men også for ethvert andet algebraisk felt som en løsning til ligningen , hvor er feltets enhed . Enhedsrødder findes i ethvert felt og danner en undergruppe af feltets multiplikative gruppe . Omvendt indeholder enhver endelig undergruppe af en multiplikativ feltgruppe kun rødder fra enhed og er cyklisk [4] . $K$ $x^{n}=1$ $en$ $K$ $K$ $K$

Hvis karakteristikken for feltet er ikke-nul, danner gruppen af rødder fra enhed sammen med nul et endeligt felt .

Historie

Den udbredte brug af enhedsrødderne som forskningsværktøj blev startet af Gauss . I sin monografi " Arithmetical Investigations " (1801) løste han først det gamle problem med at dele en cirkel i n lige store dele med et kompas og en retlinje (eller, som er det samme, at konstruere en regulær polygon med n sider). Ved at bruge enhedsrødderne reducerede Gauss problemet til at løse cirkeldelingsligningen:

x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.

Yderligere ræsonnement fra Gauss viste, at problemet kun har en løsning, hvis n kan repræsenteres som . Den Gaussiske tilgang blev senere brugt af Lagrange og Jacobi . Cauchy anvendte enhedsrødderne til studiet af et mere generelt problem med at løse algebraiske ligninger i mange ukendte (1847) [5] . $2^{2^{r}}+1$

Nye anvendelser af enhedsrødderne blev opdaget efter skabelsen af abstrakt algebra i begyndelsen af det 20. århundrede . Emmy Noether og Emil Artin brugte denne forestilling i teorien om feltudvidelser og en generalisering af Galois-teorien [6] .

Se også

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynomier og felter. Ordnede grupper. - M . : Nauka, 1965. - S. 188 og videre. — 299 s.
Van der Waerden B. L. Algebra. Definitioner, sætninger, formler . - Sankt Petersborg. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
Root // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 15.
Milne, James S. Algebraisk talteori . Kursusnotater (1998). Arkiveret fra originalen den 2. april 2012. (ubestemt)

Noter

↑ Bourbaki, 1965 , s. 188-189.
↑ Diskret Fourier-transformation . Hentet 9. april 2013. Arkiveret fra originalen 18. juni 2013. (ubestemt)
↑ Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D. Fra ornamenter til differentialligninger. En populær introduktion til teorien om transformationsgrupper. - Minsk: Higher School, 1988. - S. 34. - 253 s. - (Verden af underholdende videnskab). — ISBN 5-339-00101-6 .
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Vileitner G. Matematikkens historie fra Descartes til midten af det 19. århundrede . - M. : GIFML, 1960. - S. 87-89, 380 .. - 468 s.
↑ Van der Waerden. Algebra, 2004 , s. 150-155 ff.

Algebraiske tal
Sorter	Algebraiske heltal Chebyshev noder Konstruktive tal Eisensteins helhed Gaussiske heltal Kummer ring Perron tal Piso-Vijayaraghavan numre Kvadratisk irrationalitet ℚ Rødder fra enhed Salem numre
Bestemt	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2