Primitiv rod til enhed

En primitiv rod (eller primitiv rod ) af enhed i et felt er et element som for enhver naturlig . $m$ $K$ $\xi \in K$ $\xi ^{m}=1$ $\xi ^{\ell }\not =1$ $\ell <m$

Hvis er feltet af komplekse tal , danner magterne af den primitive rod en cyklisk gruppe af ordensrødder fra enhed. $K$ $\xi$ $m$

Egenskaber

Hvis der er en primitiv rod af graden i feltet , så er det coprime med feltets karakteristika . $K$ $m$ $m$ $K$
Et algebraisk lukket felt indeholder en primitiv rod af en hvilken som helst grad af coprime med feltets karakteristika.
Hvis er en primitiv rod af grad , så for enhver relativt prime c , er elementet også en primitiv rod. Hvorfra, især, følger det, at antallet af alle primitive rødder af graden (når de eksisterer) er lig med værdien af Euler-funktionen . $\xi$ $m$ $\ell$ $m$ ${\displaystyle \xi ^{\ell ))$ $m$ $\varphi(m)$
Inden for komplekse tal har primitive rødder af grad m formen: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m))+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m }}$ , hvor er coprime med . $\ell$ $m$

I et endeligt felt , hvor q er en potens af et primtal , er den primitive rod af graden en generator af den (cykliske) multiplikative gruppe af dette felt og kaldes et primitivt element . $\mathbb {F} _{q}$ $q-1$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. Definitioner, sætninger, formler . - Sankt Petersborg. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
Milne, James S. Algebraisk talteori . Kursusnotater (2014). Hentet 1. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 17. december 2014. (ubestemt)