Vildt høge og duer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. april 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Hawks and Doves-spillet er en af de enkleste spilteoretiske modeller , der beskriver konkurrenceforhold i en bestemt population af dyr og udviklingen af en evolutionært stabil strategi .

Spilleregler

Forestil dig en population af dyr, hvor individuelle individer konkurrerer med hinanden om en ressource. I det simpleste tilfælde kan der være tale om parringsturneringer af hanner for retten til at parre sig med en hun. Da to hanner deltager i parringsturneringen, kan turneringen opfattes som et spil med to deltagere. Antag, at mænd efter temperament falder i to grupper - lad os betinget kalde dem "duer" og "høge". Disse navne er ikke relateret til en bestemt type dyr, men forstås i overført betydning: høge som et symbol på aggressivitet og duer som et symbol på fred. I virkeligheden har disse navne intet at gøre med virkeligheden: i naturen er duer (såvel som andre dyr) ret aggressive.

Personer fra hver gruppe har følgende funktioner. Hawks kæmper altid for at vinde og trækker sig kun tilbage, hvis de er alvorligt skadet. Duer er begrænset til trusler og demonstration af aggressivitet, der forsøger at undertrykke modstanderen psykologisk, men hvis det kommer til en rigtig kamp, trækker de sig tilbage.

Hvis en due kæmper mod en høg, går sejren således til høgen, men den tilbagegående due får ingen skade i kampen og taber i princippet ikke noget. Hvis to duer kæmper, så går sejren til den ene af dem (den med stærkere nerver), ingen af dem kommer til skade, men begge bruger lidt energi på en lang psykologisk konfrontation. Hvis to høge kæmper, så vinder den ene af dem, og for den anden ender kampen med alvorlige skader.

Matematisk formulering

For at oversætte spillet til matematikkens sprog, lad os evaluere resultaterne af turneringen i form af konventionelle enheder (point) opnået eller tabt af deltagerne. En sejr i en turnering (evnen til at efterlade afkom) vurderes til V = 50 point, et tab ved L = 0 point, en alvorlig skade ved W = -100 point og energiomkostninger for en lang konfrontation ved E = -10 point.

Så, i en kamp mellem to duer, modtager den ene af dem 50 vinderpoint og derudover bruger begge 10 point i processen med en lang konfrontation. Hvis vi antager, at sandsynligheden for sejr for hver er den samme (dvs. 0,5), får vi, at den gennemsnitlige gevinst for en due i en kamp med en anden due vil være S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 point.

I en kamp mellem to høge får hver med en sandsynlighed på 0,5 en gevinst på 50 point og med samme sandsynlighed en skade, som vi estimerede til -100 point. Den gennemsnitlige gevinst vil være S(I, I) = (50–100)∙0,5 = –25 point.

I en kamp mellem en due og en høg, taber duen og modtager S(R, R) = 0 point, høgen vinder og modtager S(R, R) = 50 point.

Resultaterne af turneringen kan visualiseres i form af den såkaldte payoff matrix:

	Due	Høg
Due	femten	0
Høg	halvtreds	-25

Lad os betegne andelen af høge i populationen som z, så vil andelen af duer være 1–z. Hvis to hanner er tilfældigt involveret i en kamp, så er disse med sandsynlighed z 2 to høge, med sandsynlighed (1-z) 2 - to duer, og med sandsynlighed 2z(1-z) - en due mod en høg.

Lad os finde det gennemsnitlige antal point, som modstanderne modtager som et resultat af kampen.

En høg med sandsynlighed z bekæmper en anden høg og får -25 point i gennemsnit, og med en sandsynlighed kæmper 1-z mod en due og får 50 point. I gennemsnit vil dette være

S I (z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50 – 50z = 50 – 75z.

På samme måde får vi for duen

S Г (z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15 – 15z.

Lad os plotte graferne for disse ligninger i koordinatakserne S – z.

Som du kan se på grafen, skærer betalingslinjerne for duer og høge hinanden på et tidspunkt, defineret af forholdet: 50 - 75z = 15 - 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583…

Til højre for dette punkt (dvs. med en stigning i andelen af høge) har duer en fordel, så deres relative antal vil stige og derved reducere z. Til venstre for dette punkt (med et fald i antallet af høge) har høgene en fordel, så deres antal vil stige og derved øge z. Ethvert skift i z fra punktet med lige udbytte for duer og høge sætter således processer i gang, der har tendens til at bringe befolkningen tilbage til ligevægtspunktet. Den tilstand af befolkningen, der svarer til ligevægtspunktet, kaldes en evolutionært stabil strategi.

Generel formulering

Lad os betegne gevinsten i tilfælde af at vinde turneringen V, tabet L, skaden fra en alvorlig skade W og energiomkostningerne ved en lang konfrontation E.

Så kan elementerne i udbetalingsmatrixen udtrykkes ved følgende relationer:

S(D,D)={\frac {VL}{2}}-E;

S(H,H)={\frac {VW}{2));

S(D,H)=-L;

S(H,D)=V.

Udbetalingsmatrixen vil se sådan ud:

	Due	Høg
Due	${\frac {VL}{2}}-E$	$-L$
Høg	$V$	${\frac {VW}{2}}$

Den gennemsnitlige udbytte af høge med deres andel i befolkningen z vil være

S_{H}(z)={\frac {(VW)z}{2}}+V(1-z)=V-{\frac {(V+W)z}{2}}) ;

og den gennemsnitlige udbytte af duer

S_{D}(z)=-Lz+\left({\frac {VL}{2}}-E\right)(1-z)={\frac {VL}{2}}-E- \left({\frac {V+L}{2}}-E\right)z;

Befolkningens ligevægtspunkt vil blive nået ved følgende andel af høge:

V-{\frac {(V+W)z}{2}}={\frac {VL}{2}}-E-\left({\frac {V+L}{2}}- E\right)z;

\left({\frac {WL}{2}}+E\right)z={\frac {V+L}{2}}+E;

z={\frac {V+L+2E}{W-L+2E)).

Spilteori
Basale koncepter	Gensidig og fælles viden Spiller Hierarki af trosretninger Irrationel forstærkning Strategi ( dominans ) Omvendt induktion
Typer af spil	Samtidig , sekventiel og gentagne Ikke -samarbejdsvillig og samarbejdsvillig Med fuldstændig , ufuldstændig , perfekt og ufuldkommen information I normal og udvidet form Antagonistisk Differential Stokastisk Kønnenes kamp Hjortejagt
Løsningskoncepter	Risiko dominans Korreleret ligevægt Balancen af en skælvende hånd Nash ligevægt Subgame perfekt ligevægt Rationaliseringsevne Sekventiel ligevægt stærk balance Egen balance Evolutionært stabil strategi Epsilon-ligevægt Pareto effektivitet Nucleus
Eksempler på spil	Fangens dilemma Barens opgave "El Farol" Bertrand model Cournot model Stackelberg model Orlyanka Tragedien med delte ressourcer høge og duer
Epistemisk spilteori Mekanisme design Fair opdeling