Holonomi

Holonomi er en af sammenhængsinvarianterne i et bundt over en glat manifold , der kombinerer egenskaberne ved krumning og monodromi , og er vigtig både i geometri og i geometriserede områder af naturvidenskab, såsom relativitetsteori og strengteori . Man taler normalt om holonomi af forbindelser i et vektorbundt , selvom det ligeså giver mening at tale om holonomi af en forbindelse i et hovedbundt eller endda holonomi af en Ehresmann-forbindelse i et lokalt trivielt topologisk bundt.

Husk, at en forbindelse i et vektorbundt er en operator, der tildeler hver sti en translationstransformation . Men i modsætning til den situation, man ofte støder på i topologi, ændres den parallelle oversættelsestransformation, hvis selve stien ændres, selvom dens ender er uændrede (den afhænger ikke af små ændringer i stien kun i et meget specielt, omend meget vigtigt, tilfælde af flade forbindelser ). Holonomi er et mål for, hvordan parallel translation kan afhænge af små forstyrrelser af stien. En sammensat sti, der rejses fra til langs og derefter tilbage langs sin variation , kan nemlig opfattes som en lukket sti fra et punkt til sig selv. Sættet af alle lagtransformationer opnået ved oversættelser langs lukkede stier, der starter og slutter ved , danner en gruppe kaldet holonomigruppen ved et punkt og er betegnet med . Hvis vi kun betragter parallelle oversættelser langs de veje, der kan trækkes sammen til et punkt, får vi dens normale undergruppe , kaldet den lokale gruppe , eller begrænset holonomi , betegnet med . Holonomigrupperne på forskellige punkter kan identificeres ved at forbinde disse punkter med en sti, men denne identifikation vil generelt set afhænge af valget af stien. Men alle disse grupper er isomorfe, hvilket giver os mulighed for at tale blot om holonomigruppen og den lokale holonomigruppe, uanset valget af punkt. Holonomigruppen i et punkt har ved sin konstruktion en naturlig repræsentation i rummet kaldet holonomi-repræsentationen . $E\to X$ $\gamma \colon [0;1]\til X$ ${\displaystyle p_{\gamma }\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $\gamma (0)$ $\gamma (1)$ $\gamma$ $\gamma '$ $\gamma (0)=x$ ${\displaystyle E_{x))$ $x$ $x$ $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ $\operatørnavn {Hol} (\nabla )$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ $x$ ${\displaystyle E_{x))$

For en flad forbindelse er den lokale holonomigruppe per definition triviel, og holonomigruppen er monodromigruppen for denne flade forbindelse. I det generelle tilfælde er monodromien af en ikke-flad forbindelse defineret i termer af holonomi, som en kvotientgruppe . $\operatørnavn {Hol} (\nabla )/\operatørnavn {Hol} ^{0}(\nabla )$

Det enkleste eksempel: summen af vinklerne i en sfærisk trekant

Overvej tilfældet med tangentvektorer til en todimensional kugle. Forbindelse ( Levi-Civita ) kan i dette tilfælde bestemmes elementært. Enhver stykkevis glat sti kan nemlig vilkårligt godt tilnærmes af en brudt linje, hvis forbindelser er geodætiske (det vil sige små buer af storcirkler). Lad os definere parallel translation langs geodæten ved den betingelse, at tangentvektoren bliver til vektoren , mens vinklerne og orienteringen i tangentplanet bevares. ${\displaystyle p_{\gamma }\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2))$ ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\til S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2))$

Figuren viser processen med at flytte en tangentvektor langs en geodætisk fra punkt til punkt , fra punkt til punkt og fra punkt tilbage til punkt . Bemærk, at når du bevæger dig langs en side, ændres vinklen, der dannes af den overførte vektor med tangentvektoren til denne side, ikke, og ved toppunktet tilføjes værdien af den eksterne vinkel ved dette toppunkt. Således akkumuleres vinklen i alt med , hvor betegner en sfærisk defekt (afvigelse af vinklernes sum af en sfærisk trekant fra ), og da tangentvektoren til grænsen også ruller med , den kumulative afvigelse af den medfølgende tangentvektor fra dens oprindelige tangentvektor er . Som det er velkendt, er den sfæriske defekt proportional med trekantens areal, så holonomigruppen i dette tilfælde vil simpelthen være en gruppe af rotationer gennem alle mulige vinkler. $EN$ $N$ $N$ $B$ $B$ $EN$ ${\displaystyle \pi -\alpha _{i))$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\pi$ $2\pi$ $\delta$

Denne effekt kan observeres i det virkelige liv, for eksempel når gyroskoper afviger fra deres position efter at have passeret en sti, der omfatter et tilstrækkeligt stort område af jordens overflade. Andre mere eller mindre klassiske manifestationer af fænomenet holonomi er Berry-fasen og Aharonov-Bohm-effekten .

Holonomi og krumning

I tilfælde af en højere dimension kan transformationen af holonomi langs stien naturligvis ikke beskrives med et enkelt tal, fordi ortogonale rotationer af -dimensionelt rum kræver koefficienter for deres unikke tildeling. De danner dog stadig en gruppe. I tilfælde af en Levi-Civita-forbindelse (eller en metrisk forbindelse generelt) på en orienterbar manifold, vil dette være en undergruppe af , normalt hele den. Det kaldes den Riemannske holonomigruppe . $n$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Hvis stien er kontraheret til et punkt , så tenderer holonomitransformationen til den identiske transformation . Hvis vi har en tendens til et uendeligt lille parallelogram med sider , så tenderer holonomitransformationen til en transformation , der er uendeligt tæt på identiteten. Men per definition, hvis , hvor er ubetydelig (eller formelt set over en nilpotent ring ), så , hvor er Lie-algebraen for gruppen . I dette tilfælde kaldes denne algebra for holonomialgebraen og er betegnet med . På den anden side er den "parallelle omslutning omkring et uendeligt lille parallelogram" , som viser, hvor langt de parallelle overførselsoperatorer ikke pendler langs to vektorer, simpelthen krumning . $\gamma$ $x$ $p_{\gamma }$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}$ $\gamma$ $u,v\in T_{x}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\in G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g))$ $\mathfrak{g}$ $G$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla )$ ${\displaystyle \Theta _{u,v))$

Sætning ( Ambrose , Singer ): Holonomi-algebraen er genereret af værdierne af krumningstensoren på alle mulige par af tangentvektorer.

Princippet om holonomi

Hvis der er et vektorbundt med forbindelse , og en bestemt tensor defineret ved punktet , så kan man forsøge at udvide det til alle andre punkter i manifolden ved paralleloversættelse ved hjælp af forbindelsen fra . Det resulterende tensorfelt vil automatisk være parallelt i forhold til forbindelsen . Men for at denne operation skal være korrekt, skal den være uafhængig af valget af vej; med andre ord, uanset hvilken lukket vej vi tager fra ind i os selv, skal en parallel overførsel langs den vende tilbage til sig selv. Det betyder, at der er en invariant vektor i tensorrepræsentationen af holonomigruppen. $E\to X$ $\nabla$ ${\displaystyle \eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l))$ $x$ $\nabla$ $x$ $\nabla$ $x$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Holonomiprincip : tensorfelter parallelle med hensyn til forbindelse svarer en-til-en til invarianter i tensorkraften af holonomi-repræsentationen $\nabla$ $\nabla$

Overvej for eksempel undergruppen af enhedsmatricer . Denne gruppe har en invariant tensor i , nemlig operatoren for multiplikation med in ( dette er en 90° rotation). Derfor, hvis en dimensionel Riemann-manifold har en Riemann-holonomigruppe i , tillader den et rotationsfelt med 90° (det vil sige en tangentbundt-endomorfi med egenskaben ), som kan opfattes som en næsten kompleks struktur . Desuden, da Levi-Civita-forbindelsen er torsionsfri , følger det af Newlander-Nirenberg- sætningen, at denne struktur er integrerbar, det vil sige, at den tillader lokale holomorfe kort i . Tilsvarende har grupperepræsentationen en fast vektor, den skævsymmetriske del af det hermitiske prikprodukt . Således er der på en dimensionel Riemannmanifold med holonomi indeholdt i , en intetsteds degenereret 2-form parallel med hensyn til Levi-Civita-forbindelsen (som kan udtrykkes i form af metrikken og operatoren beskrevet ovenfor ved standardformlen for Hermitiske rum Differentialformer parallelle med hensyn til forbindelsen uden torsion er lukkede, så , og sådan en manifold er symplektisk.Manifolder med konsekvente tre strukturer - en Riemannsk metrisk, en symplektisk form og en kompleks struktur, kaldes Kählerian. Den korteste måde at definere en Kähler-manifold på er at sige, at det er en Riemann -dimensional manifold, en Riemann-gruppe, hvis holonomi er indeholdt i . Alle geometriske strukturer er opnået ud fra dette ved hjælp af holonomiprincippet. $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$ $jeg$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $\omega$ $g$ $jeg$ $\omega (x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$

Princippet om holonomi har en anden vigtig anvendelse. Lad os nemlig antage, at repræsentationen af den riemannske holonomi kan reduceres . Så kan man udvide den tilsvarende opdeling af tangentrummet til alle andre punkter. Vi får to underbundter , der er indbyrdes vinkelrette på hinanden. Desuden, eftersom disse underbundter er bevaret af en vridningsfri forbindelse, tillader de integrerede ark, dvs. lokalt nedbrydes manifolden til et ortogonalt direkte produkt. To indbyrdes vinkelrette overalt tætte blade på torus gør det klart, at der generelt ikke er en sådan nedbrydning globalt; dog følgende $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\subset T$

Sætning ( J. de Ram ). På en simpelt forbundet manifold med en reducerbar Riemannsk holonomi-repræsentation definerer parallelle foliationer en nedbrydning til et ortogonalt kartesisk produkt.

Berges bord

I kraft af de Rhams dekomponeringssætning kombineres enhver metrik på en kompakt, simpelt forbundet manifold fra metrik med en irreducerbar repræsentation af den riemannske holonomi, så de er af interesse for geometre.

Invariante metrikker på homogene rum gør det muligt at organisere mange forskellige holonomigrupper. Beskrivelsen af sådanne metrikker er et ikke-trivielt problem i teorien om Lie-algebraer. Men hvis vi er interesserede i spørgsmål om geometri, der ikke kan reduceres til algebra, er det vigtigt for os, at vi for en metrik, der ikke er homogen, har $G/H$

Simons Alternativ . En Lie-gruppe med dens ortogonale repræsentation kan opstå som en Riemann-holonomi-gruppe og en Riemann-holonomi-repræsentation for en metrik, der ikke er lokalt symmetrisk , så længe den gruppe virker transitivt på vektorer af enhedslængde.

Således virker den riemannske holonomigruppe af en ikke-symmetrisk metrik transitivt på sfæren. Sådanne grupper er fuldt klassificerede. Ikke alle af dem kan realiseres som en holonomigruppe af en ikke-symmetrisk metrik: for eksempel skal en metrik med holonomi , som vist af D.V. Alekseevskii , have en kovariant konstant krumningstensor, og en metrik med denne egenskab er lokalt symmetrisk vha. Cartan-Ambrose-Hicks sætning . Gruppen kan slet ikke opstå som en holonomigruppe. De resterende grupper er opsummeret i en tabel først beskrevet af M. Berger : $\mathrm {Spin} (9)\subset \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subset \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\svag$	geometri	noter
${\mathrm {SO}}(n)$	$n$	generel Riemann-manifold
$\mathrm {U} (n)$	$2n$	Kähler manifold	Riemannsk, symplektisk, kompleks
${\mathrm {SU}}(n)$	$2n$	Calabi-Yau manifold	ricci-flat , kähler
$\mathrm {Sp} (1)\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	quaternion-Kählerian mangfoldighed	Einsteinsk , men ikke Kählerian
$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	hyperkähler manifold	Ricci-flat, Kählerian (til tre forskellige komplekse strukturer)
${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$	7	${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ -manifold	ricci-flad
$\mathrm {Spin} (7)$	otte	Spin(7)-manifold	ricci-flad

Oplysningerne i den sidste kolonne følger også af holonomiprincippet og forsvinden af invarianterne af nogle tensorkræfter i de tilsvarende holonomirepræsentationer. Det er ikke muligt at udelukke quaternion-Kähler-manifolder fra denne tabel i samme ånd, som Alekseevsky udelukkede -varianter (som var i den tidlige version af Bergers tabel); hypotetisk er de dog alle lokalt symmetriske. For alle andre tilfælde er der eksempler på ikke-lokalt symmetriske metrikker. $\mathrm {Spin} (9)$

Forholdet mellem holonomi af forbindelser og systemer med ikke-holonomiske forbindelser

I geometri blev ordet "holonomi" først brugt af Eli Cartan i 1926, da han klassificerede symmetriske rum. Selve ordet er dog meget ældre, og har i sin oprindelige betydning overlevet den dag i dag i udtrykket " nonholonomic mekanik ". Det blev introduceret af Poinsot for at beskrive mekaniske systemer, hvor ligninger for afledte størrelser kan reduceres til ligninger for størrelserne selv - eller, ved at reducere mekanik til geometri, fordelinger af tangentplaner i faserummet, for hvilke plane overflader af funktioner kan være fundet, der har samme dimension. Nu kaldes sådanne distributioner integrerbare (begge rødder heltal og ὅλος betyder "hel"). Følgelig er ikke-holonomiske systemer dem, hvor man bevæger sig langs tilladte vektorfelter til sidst kan bevæge sig i en retning, der ikke opfylder ligningen for øjeblikkelige ændringer i mængder. Forbindelser, der har ikke-nul krumning (og dermed holonomi) bestemmer netop en sådan fordeling på det samlede rum af bundterne, hvori de er givet: en lukket bane på manifolden stiger til en vandret bane i det samlede rum, der starter ved punktet og slutter på punktet . Dette er netop skiftet i den tværgående retning, når holonomigruppen er ikke-triviel; hvis det er trivielt (det vil sige, at systemet er holonomisk), så bestemmer stigningen af alle mulige stier over den integrale undermanifold i det samlede rum for hver begyndelsesværdi; disse undermanifolder (mere præcist de funktioner, hvis plane overflader de er) svarer i mekanikken til bevarelseslovene for holonomiske systemer. $\gamma$ $v\in E_{x}$ ${\displaystyle p_{\gamma }(v)\i E_{x))$

Interessant nok, ligesom udtrykket "monodromi" historisk refererede til en situation, hvor det, vi nu kalder monodromigruppen forsvandt (og det ville være mere etymologisk korrekt at bruge ordet allodromi ), betød udtrykket "holonomi" oprindeligt en situation, hvor holonomi er trivielt. Dette er imidlertid en generel uretfærdighed i matematik: for eksempel var Euler-karakteristikken for Euler altid lig med to og karakteriserede ikke noget; som en topologisk invariant bør den med rette kaldes Lhuillier- karakteristikken .