L-funktion

En L - funktion er en meromorf funktion på det komplekse plan forbundet med en af ​​flere typer matematiske objekter . En L-serie er en Dirichlet-serie , der normalt konvergerer på halvplanet, og som analytisk kan udvides til en L-funktion på hele det komplekse plan.

L-funktionsteorien er blevet en meget væsentlig, men stadig stort set hypotetisk, del af moderne analytisk talteori . I den er der konstrueret brede generaliseringer af Riemann zeta-funktionen og L-serien for Dirichlet-karakterer , og deres generelle egenskaber er i langt de fleste tilfælde endnu ikke tilgængelige for bevis i en systematisk præsentation

Konstruktion

Vi vil skelne mellem L-rækker , det vil sige repræsentationer via serier (for eksempel Dirichlet-rækken for Riemann zeta-funktionen), og L - funktioner, det vil sige analytiske fortsættelser af en funktion på hele det komplekse plan. Den generelle konstruktion begynder med L - serien, først defineret som en Dirichlet rad, og deres nedbrydning til et Euler-produkt med indeks, der løber gennem primtal. Betragtningen kræver bevis for seriens konvergens i et eller andet højre halvplan af feltet af komplekse tal. Derefter spørges, om den funktion, der defineres, analytisk kan udvides til hele det komplekse plan (måske med udseendet af flere poler ).

En hypotetisk meromorf forlængelse af det komplekse plan kaldes en L - funktion . Det er allerede kendt i klassiske tilfælde, at nyttig information er indeholdt i værdierne og adfærden af ​​L -funktionen ved dens nuller og poler. Den generelle term " L - funktion" omfatter her også mange typer zeta-funktioner . Selberg-klassen er et forsøg på at beskrive alle hovedegenskaberne ved L - funktioner ved hjælp af et sæt aksiomer for at studere klassens egenskaber sammen og ikke hver for sig.

Hypotetisk information

Nedenfor er en liste over karakteristika for kendte L - funktioner, som er ønskelige at se i generelle vendinger:

• placering af nuller og poler;
• Funktionel ligning, under hensyntagen til nogle lodrette linjer ;
• interessante værdier i heltal relateret til parametrene for algebraisk K-teori

Det detaljerede arbejde er blevet genereret af en stor mængde plausible hypoteser, for eksempel om den nøjagtige type funktionel ligning, der skal holde for L - funktioner. Da Riemann zeta-funktionen relaterer sine værdier i positive lige heltal (og negative ulige heltal) til Bernoulli-tal , er en søgning i gang efter en passende generalisering af dette fænomen. I dette tilfælde blev der opnået resultater for p-adiske L-funktioner , der beskriver et bestemt Galois-modul.

Statistikken over fordelingen af ​​nuller er af interesse på grund af deres forbindelse til problemer som den generaliserede Riemann-hypotese , fordelingen af ​​primtal osv. Forbindelserne til tilfældig matrixteori og kvantekaos er også af interesse. Den fraktale struktur af distributioner er også af interesse [2] . Selvligheden af ​​fordelingen af ​​nuller er ret bemærkelsesværdig og er karakteriseret ved en stor fraktal dimension på 1,9. Denne ret store fraktale dimension er over nullerne og dækker mindst femten størrelsesordener for Riemann zeta-funktionen, såvel som for nullerne af andre L-funktioner af forskellige ordener og ledere.

Birch og Swinnerton-Dyers hypotese

Et vigtigt eksempel, både for historien om mere generelle L - funktioner og som et stadig åbent forskningsproblem, er formodningen fra Birch og Swinnerton-Dyer . Formodningen fortæller, hvordan man kan beregne rangeringen af ​​en elliptisk kurve over feltet af rationelle tal (eller et andet globalt felt ), det vil sige antallet af frie rationelle punktgrupper, der danner den. Meget tidligere arbejde på dette område begyndte at smelte sammen omkring et bedre kendskab til L - funktioner. Det var som et eksempel på et paradigme i den nye teori om L - funktioner.

Rise of the General Theory

Denne udvikling gik flere år forud for Langlands' program og kan ses som komplementær til det: Langlands' arbejde beskæftiger sig hovedsageligt med Artins L-funktioner , og med L - funktioner knyttet til den generelle automorfe repræsentation .

Efterhånden blev det tydeligere, i hvilken forstand konstruktionen af ​​Hasse-Weil zeta-funktionen kan gøre tilvejebringelsen af ​​tilladelige L - funktioner funktionsdygtig - i analytisk forstand: der skal være et eller andet bidrag fra analysen, hvilket betød "automorf" analyse. Den generelle case samler nu på et konceptuelt niveau en række forskellige forskningsprogrammer.

Se også

• Generaliserede Riemann-hypoteser
• Automorf L-funktion
• Modularitetssætning
• Artins hypotese

Links

1. ↑ Jorn Steuding, An Introduction to the Theory of L-functions, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Tilfældige matricer, generaliserede zeta-funktioner og selv-lighed af nulfordelinger  // J. Phys  . A: Matematik. Gen. : journal. - 2006. - Bd. 39 , nr. 45 . - P. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .