Hasse-Weil zeta funktion

Hasse-Weyl zeta-funktionen er en analog af Riemann zeta-funktionen , som er bygget på en mere kompleks måde ud fra antallet af punkter i manifolden i et endeligt felt. Dette er en kompleks analytisk funktion, for elliptiske kurver er dens adfærd nær punkt 1 tæt forbundet med gruppen af rationelle punkter i denne elliptiske kurve.

Hasse-Weyl zeta-funktionen som en global L-funktion

Hasse-Weyl zeta-funktionen, knyttet til en algebraisk variant defineret over et algebraisk talfelt , er en af de to vigtigste typer af L-funktioner . Sådanne L -funktioner kaldes globale , da de er defineret som Euler-produktet af lokale zeta-funktioner . De danner en af de to hovedklasser af globale L - funktioner, og den anden er L - funktionerne forbundet med automorfe repræsentationer . Det antages hypotetisk, at der kun er én væsentlig type global L - funktion med to beskrivelser (den ene af dem kommer fra en algebraisk varietet, den anden fra en automorf repræsentation); dette ville være en bred generalisering af Taniyama-Shimura-formodningen , det mest dybe og seneste resultat (fra 2009) i talteori . $V$ $K$

Beskrivelsen af Hasse-Weil zeta-funktionen op til et begrænset antal faktorer af dets Euler-produkt er relativt enkel. Dette kom fra de indledende overvejelser af Hasse og Weyl , motiveret af tilfældet hvor er det eneste punkt og Riemann zeta-funktionen. $V$

Hvis vi tager det tilfælde, at u er en ikke -singular projektiv varietet , kan vi overveje modulo- reduktion for næsten alle primtal , det vil sige en algebraisk variation over et endeligt felt . For næsten alle vil det være ikke-specielt. Vi definerer Dirichlet -serien som en kompleks variabel , der er det uendelige produkt over alle primtal af de lokale zeta-funktioner . Så , ifølge vores definition, er veldefineret kun op til multiplikation med en rationel funktion af til i et endeligt antal argumenter af formen . $K=\mathbb {Q}$ $V$ $s$ $V$ $s$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $s$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ $\zeta _{V,p}(p^{-s})$ $Z(s)$ ${\displaystyle p^{-s))$

Da denne ubestemmelighed er relativt harmløs og har en meromorf forlængelse overalt, er der en forstand, hvor egenskaberne i det væsentlige er uafhængige af den. Især, selvom den nøjagtige form af den funktionelle ligning for , helt sikkert vil afhænge af de manglende faktorer, vil eksistensen af en sådan funktionel ligning ikke afhænge af disse faktorer. $Z(s)$ $Z(s)$

En klarere definition af Hasse-Weil zeta-funktionen blev muliggjort af udviklingen af étale kohomologi ; de forklarer pænt, hvad man skal gøre med de manglende faktorer med dårlig reduktion. Ifølge de generelle principper, der ses i forgreningsteori , bærer primtal med dårlig reduktion god information ( lederteori ). Dette manifesterer sig i teorien om étales i Ogg-Neron-Shafarevich-kriteriet for god reduktion , nemlig at der i en vis forstand er en god reduktion i alle primtal , for hvilke Galois-repræsentationen på gruppens étale- kohomologi er uforgrenet . For dem kan definitionen af den lokale zeta-funktion gendannes i form af det karakteristiske polynomium , hvor er Frobenius-endomorfismen for . Hvad der sker, når forgrenet er noget, der er ikke-trivielt i inertigruppen . For sådanne primtal skal definitionen korrigeres ved at tage den største kvotient af den repræsentation , som inertigruppen virker på af den trivielle repræsentation . Med denne forfining kan definitionen med succes opgraderes fra næsten alle til alle involverede i Euler-produktet. Konsekvenser fra den funktionelle ligning blev udviklet af Serre og Deligne i slutningen af 1960'erne; den funktionelle ligning i sig selv er slet ikke bevist. $s$ $\rho$ $V$ $\rho (\operatørnavn {Frob} (p)),$ $\operatørnavn {Frob} (p)$ $s$ $s$ $\rho$ $I(p)$ $\rho$ $Z(s)$ $s$ $s$

Eksempel: elliptisk kurve over feltet af rationelle tal

Lade være en elliptisk kurve over c leder , og være et vilkårligt primtal. Så har den en god reduktion for alle , ikke at dividere , har en multiplikativ reduktion hvis den dividerer , men ikke dividerer , og har en additiv reduktion i andre tilfælde (det vil sige hvis den dividerer ). Så tager Hasse-Weil zeta-funktionen af formen $E$ $\mathbb {Q}$ $N$ $s$ $E$ $s$ $N$ $s$ $N$ $p^{2}$ $N$ $p^{2}$ $N$ $E$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Her er den sædvanlige Riemann zeta funktion, og kaldes L - funktionen , som har formen $\zeta (s)$ $L(s,E)$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

hvor for givet , $s$

L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ if }} p\nmidt N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\midt N{\text{ og }}p^{2}\nmidt N\\ 1,&{\text{ if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

hvor i tilfælde af en god reduktion , og i tilfælde af en multiplikativ reduktion , afhængig af om eller er adskilt af en ikke-delt multiplikativ reduktion i . $a_{p}=p+1-{\text{antal prikker i }}E{\bmod {p}}$ $a_{p}=\pm 1$ $E$ $s$

Hasse-Weyl hypotese

Hasse-Weil-formodningen siger, at Hasse-Weil zeta-funktionen analytisk skal udvides til en meromorf funktion på hele det komplekse plan og skal opfylde en funktionel ligning svarende til den funktionelle ligning for Riemann zeta-funktionen. For elliptiske kurver over rationelle tal følger Hasse-Weil-formodningen fra modularitetssætningen .

Se også

Aritmetisk zeta-funktion

Litteratur

Koblitz N. Introduktion til elliptiske kurver og modulære former. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 s. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[lør. værker redigeret af J. Berstein og St. Gelbart Introduction to the Langlands Program] = An Introduction to the Langlands Program. - Moskva, Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2008. - S. 118. - 368 s. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

L -funktioner i talteori
Analytiske eksempler	Riemann zeta funktion L -Dirichlet funktioner L -funktioner af Hecke-karakterer Automorfe L - funktioner Selberg klasse
Algebraiske eksempler	Dedekind zeta funktioner Artin L -funktioner Hasse-Weyl L -funktioner Motiv L -funktioner
Sætninger	Analytisk formel for antallet af klasser Riemann-von Mangoldt formel Weils hypoteser
Analytiske hypoteser	Riemanns hypotese Generaliserede Riemann-hypoteser Lindelöf hypotese Ramanujan hypotese Artins hypotese
Algebraiske formodninger	Birch-Swinnerton-Dyer hypotese Delignes formodning Beilinsons hypoteser Bloch-Kato formodning Langlands hypotese
p - adic L -funktioner	Hovedhypotesen i Iwasawa-teorien Selmer Group Euler system