Bernoullis lov [1] (også Bernoullis ligning [2] [3] , Bernoullis sætning [4] [5] eller Bernoullis integral [2] [6] [7] ) etablerer sammenhængen mellem hastigheden af en stationær væskestrøm og dens tryk . Ifølge denne lov, hvis væsketrykket stiger langs strømlinjen , falder strømningshastigheden og omvendt. Lovens kvantitative udtryk i form af et Bernoulli-integral er resultatet af at integrere de hydrodynamiske ligninger for en ideel væske [2] (det vil sige uden viskositet og termisk ledningsevne ).
For tilfældet med en inkompressibel væske blev et resultat svarende til den moderne Bernoulli-ligning offentliggjort i 1738 af Daniil Bernoulli [K 1] . I sin moderne form blev integralet udgivet af Johann Bernoulli i 1743 [11] for tilfælde af en inkompressibel væske, og for nogle tilfælde af komprimerbare væskestrømme, af Euler i 1757 [12] .
Fuldt tryk | |
---|---|
Dimension | |
Enheder | |
SI | J / m 3 \u003d Pa |
GHS | erg / cm 3 |
Noter | |
Konstant langs strømlinjen af en konstant strøm af en inkompressibel væske . |
For en konstant strøm af en inkompressibel væske, kan Bernoullis ligning udledes som en konsekvens af loven om bevarelse af energi . Bernoullis lov siger, at en mængde forbliver konstant langs en strømlinje:
Her
er væskens massefylde ; — flowhastighed ; - højde; - tryk ; er det frie falds acceleration . En elementær afledning af Bernoulli-ligningen fra loven om energibevarelseEn elementær afledning af Bernoulli-ligningen fra loven om energibevarelse er for eksempel givet i lærebogen af D. V. Sivukhin [13] . Væskens stationære bevægelse langs strømlinjen, vist på figuren, tages i betragtning. Til venstre påvirkes væskevolumenet, som oprindeligt er indesluttet mellem to sektioner og , af kraften , og til højre er kraften i den modsatte retning . Hastigheden og trykket i sektionerne 1 og 2 samt deres arealer er angivet med sænket 1 og 2. I en uendelig lille tid er venstre grænse for dette væskevolumen forskudt en lille afstand , og den højre med en afstand . Arbejdet udført af trykkræfter er lig med:
I begyndelsen af tidsintervallet består væskevolumenet indesluttet mellem de to overflader af det venstre blå element og den midterste blå del; i slutningen af dette interval består det forskudte volumen af den midterste blå del og den højre blå del element. Da strømmen er stationær, ændres det blå fragments bidrag til energien og massen af væskevolumenet under diskussion ikke, og bevarelsen af massen giver os mulighed for at konkludere, at massen af det venstre blå element er lig med massen af det højre blå element: Derfor er kræfternes arbejde, hvis udtryk kan konverteres til formen: er lig med ændringen i energi , som igen er lig med energiforskellen mellem det højre blå element og det venstre blå element .
For en inkompressibel væske kan vi for det første i udtrykket for arbejde sætte og for det andet i udtrykket for energien af et flydende element kan vi begrænse os til kinetisk og potentiel energi: Derefter giver ligheden: , eller .
Konstanten på højre side (kan variere for forskellige strømlinjer) kaldes nogle gange totaltryk [2] . Udtrykkene "vægttryk" , "statisk tryk" og "dynamisk tryk" kan også bruges . Ifølge DV Sivukhin [13] blev irrationaliteten af disse begreber bemærket af mange fysikere.
Dimensionen af alle udtryk er en energienhed pr. volumenenhed. Det første og andet udtryk i Bernoulli-integralet har betydningen af den kinetiske og potentielle energi pr. volumenenhed af væsken. Det tredje led i sin oprindelse er trykkræfternes arbejde (se ovenstående udledning af Bernoulli-ligningen), men i hydraulik kan det kaldes "trykenergien" og en del af den potentielle energi [14] ).
Når den anvendes på udstrømningen af en ideel inkompressibel væske gennem et lille hul i sidevæggen eller bunden af en bred beholder, giver Bernoullis lov ligheden mellem de samlede tryk på væskens frie overflade og ved udløbet af hullet:
hvor
er højden af væskesøjlen i beholderen, målt fra niveauet af hullet, er væskestrømningshastigheden, - atmosfærisk tryk .Herfra :. Dette er Torricelli-formlen . Det viser, at når væsken flyder ud, opnår den den hastighed, som et legeme ville modtage, hvis det var frit faldende fra en højde . Eller hvis strålen, der strømmer fra et lille hul i fartøjet, er rettet opad, vil strålen ved toppunktet (se bort fra tab) nå niveauet for den frie overflade i fartøjet [15] .
Tilnærmelsen af en inkompressibel væske, og dermed Bernoulli-loven, er også gyldige for laminære gasstrømme, hvis blot strømningshastighederne er små sammenlignet med lydens hastighed [16] .
Langs det vandrette rør er koordinaten konstant, og Bernoulli-ligningen har formen . Det følger heraf, at når strømningstværsnittet falder på grund af en stigning i hastigheden, falder trykket. Effekten af trykreduktion med stigende flowhastighed ligger til grund for driften af Venturi flowmåleren [17] og jetpumpen [1] .
Bernoullis lov forklarer, hvorfor skibe, der bevæger sig i en parallel kurs, kan blive tiltrukket af hinanden (for eksempel skete en sådan hændelse med det olympiske linjeskib ) [18] .
Den konsekvente anvendelse af Bernoullis lov førte til fremkomsten af en teknisk hydromekanisk disciplin - hydraulik . Til tekniske applikationer er Bernoullis ligning ofte skrevet som havende alle led divideret med " specifik tyngdekraft " :
hvor længdeleddene i denne ligning kan have følgende navne:
Tryk [19] | |
---|---|
Dimension | |
Enheder | |
SI | måler |
Noter | |
Totaltryk divideret med vægtfylde . |
Bernoullis lov gælder kun for ideelle væsker, hvor der ikke er nogen viskøse friktionstab . For at beskrive strømmene af reelle væsker i teknisk hydromekanik (hydraulik) bruges Bernoulli-integralet med tilføjelse af termer, der tilnærmelsesvis tager højde for forskellige " hydrauliske tryktab " [19] .
Bernoulli-ligningen kan også udledes af væskebevægelsesligningen [K 2] [K 3] . I dette tilfælde antages strømmen at være stationær og barotropisk . Sidstnævnte betyder, at massefylden af en væske eller gas ikke nødvendigvis er konstant (som i den tidligere forudsatte inkompressible væske), men kun er en funktion af trykket: , hvilket giver os mulighed for at introducere trykfunktionen [22] Under disse antagelser, antal
er konstant langs enhver strømlinje og enhver hvirvellinje . Forholdet er gyldigt for flowet i ethvert potentialfelt og erstattes af kropskraftpotentialet .
Afledning af Bernoulli-integralet for barotropisk strømningGromeka-Lamb-ligningen [23] [24] (kantede parenteser angiver vektorproduktet ) har formen:
I kraft af de antagelser, der er lavet og (i det særlige tilfælde af en homogen tyngdekraft, er dens potentiale ), så Gromeka-Lamb-ligningen antager formen:
Det skalære produkt af denne ligning og enhedsvektoren, der tangerer strømlinjen, giver:
da produktet af gradienten ved enhedsvektoren giver en afledet i retningen , og vektorproduktet er vinkelret på hastighedens retning. Følgelig, langs strømlinjen. Denne relation er også gyldig for hvirvellinjen, tangentvektoren, som i hvert punkt er rettet langs
For irrotationelle barotrope strømme, hvis hastighed kan udtrykkes som en gradient af hastighedspotentialet , er Bernoulli-integralet i form [K 4] også bevaret i ustabile strømme, og konstanten på højre side har samme værdi for hele flowet [25] .
Hvis den adiabatiske lov er opfyldt i strømmen af en perfekt gas [26]
så er Bernoulli-ligningen udtrykt som følger [27] (bidraget fra tyngdekraften kan normalt negligeres):
langs en strømlinje eller hvirvellinje. Her er det gasadiabatiske indeks udtrykt som varmekapacitet ved konstant tryk og ved konstant volumen, er gassens tryk og tæthed, er betinget valgte konstante (det samme for hele flowet) værdier for tryk og tæthed.Denne formel bruges til at finde hastigheden af en gas, der strømmer ud af en højtryksbeholder gennem en lille åbning. Det er praktisk at tage trykket og densiteten af gassen i beholderen, hvor gashastigheden er lig med nul, for at tages, da udstrømningshastigheden så udtrykkes som det ydre tryk i henhold til Saint-Venant-Wanzel formel [ 28] :
Det følger af termodynamikken , at langs strømlinjen af enhver stationær strømning af en ideel væske
hvor er entalpien af en enhedsmasse , er gravitationspotentialet (lig med en ensartet tyngdekraft), er entropien af en masseenhed.
Afledning af Bernoullis lov fra Eulers ligning og termodynamiske relationer1. Euler-ligningen for stationær ( ) bevægelse af en ideel væske i tyngdefeltet [29] har formen
hvor tyngdeaccelerationen kan udtrykkes i form af gravitationspotentialet (for et ensartet felt ), betyder prikken mellem vektorerne i parentes deres skalarprodukt .
2. Skalarproduktet af denne ligning og enhedsvektoren tangent til strømlinjen giver
da produktet af gradienten og enhedsvektoren giver den afledede retning
3. Termodynamisk differentialrelation
hvor er entalpien af en masseenhed , er temperaturen og er entropien af en masseenhed, giver
såI en stationær strømning af en ideel væske har alle partikler, der bevæger sig langs en given strømlinje, den samme entropi [30] ( ), derfor langs strømlinjen:
Bernoulli-integralet bruges i tekniske beregninger, herunder til medier, der i deres egenskaber er meget langt fra en ideel gas, for eksempel til vanddamp brugt som kølemiddel i dampturbiner. I dette tilfælde kan de såkaldte Mollier-diagrammer bruges , der repræsenterer specifik entalpi (langs y- aksen ) som funktion af specifik entropi (langs abscissen ), og for eksempel tryk (eller temperatur) i form af en familie af isobarer ( isotermer ). I dette tilfælde ligger sekvensen af tilstande langs strømlinjen på en eller anden lodret linje ( ). Længden af segmentet af denne linje, afskåret af to isobarer svarende til kølevæskens begyndelses- og sluttryk, er lig med halvdelen af ændringen i kvadratet af hastigheden [31] .
Bernoulli-integralet bevares også, når strømmen passerer gennem fronten af stødbølgen, i referencerammen, hvor stødbølgen er i hvile [32] . Men under en sådan overgang forbliver mediets entropi ikke konstant (stiger), derfor er Bernoulli-forholdet kun et af de tre Hugoniot-forhold , sammen med lovene om bevarelse af masse og momentum, der relaterer tilstanden af medium bag fronten til tilstanden af mediet foran fronten og med stødbølgehastigheden.
Der er kendte generaliseringer af Bernoulli-integralet for nogle klasser af viskøse væskestrømme (for eksempel for planparallelle strømme [33] ), i magnetohydrodynamik [34] , ferrohydrodynamik [35] . I relativistisk hydrodynamik, når strømningshastighederne bliver sammenlignelige med lysets hastighed , formuleres integralet i form af relativistisk invariant [36] specifik entalpi og specifik entropi [37] .
Ordbøger og encyklopædier |
---|