Adiabatisk eksponent

Den adiabatiske eksponent (nogle gange kaldet Poissons forhold ) er forholdet mellem varmekapaciteten ved konstant tryk ( ) og varmekapaciteten ved konstant volumen ( ). Det kaldes nogle gange også den isentropiske ekspansionsfaktor . Betegnes med det græske bogstav ( gamma ) eller ( kappa ). Bogstavsymbolet bruges hovedsageligt i kemiingeniørdiscipliner. I varmeteknik bruges det latinske bogstav [1] . $C_P$ $C_V$ $\gamma$ $\kappa$ $k$

Ligningen:

\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}},

hvor

C

er gassens varmekapacitet ,

c

— specifik varmekapacitet (forholdet mellem varmekapacitet og masseenhed) af gas indeksene og angiver betingelsen for henholdsvis trykkonstans eller volumenkonstans.

_P

_V

For den adiabatiske eksponent er Resch-sætningen (1854) [2] [3] gyldig :

\gamma ={\frac {\chi _{t}}{\chi _{s}}}},

hvor og er de isotermiske og adiabatiske (isoentropiske) koefficienter for ensartet kompression . $\chi _{t}$ ${\displaystyle \chi _{s))$

For at forstå dette forhold skal du overveje følgende eksperiment. En lukket cylinder med et fast stempel indeholder luft. Trykket indeni er lig med trykket udenfor. Denne cylinder opvarmes til en bestemt påkrævet temperatur. Så længe stemplet er fastgjort i en stationær tilstand, forbliver luftmængden i cylinderen uændret, mens temperaturen og trykket stiger. Når den ønskede temperatur er nået, stopper opvarmningen. I dette øjeblik er stemplet "frigivet", og på grund af dette begynder det at bevæge sig under lufttrykket i cylinderen uden varmeudveksling med omgivelserne (luften udvider sig adiabatisk ). Ved at udføre arbejde afkøles luften inde i cylinderen til under den tidligere nåede temperatur. For at bringe luften tilbage til den tilstand, når dens temperatur igen når den krævede værdi nævnt ovenfor (med stemplet stadig "frigjort"), skal luften opvarmes. Til denne opvarmning udefra er det nødvendigt at tilføre ca. 40% (for en diatomisk gas - luft) mere varme, end der blev leveret under den tidligere opvarmning (med et fast stempel). I dette eksempel er mængden af tilført varme til cylinderen med stemplet fast proportional med , mens den samlede mængde af tilført varme er proportional med . Således er den adiabatiske eksponent i dette eksempel 1,4 . $C_V$ $C_P$

En anden måde at forstå forskellen mellem og er, at det gælder, når der arbejdes på et system, der er tvunget til at ændre dets volumen (det vil sige ved at flytte et stempel, der komprimerer indholdet af en cylinder), eller hvis arbejdet udføres af en system med en ændring i dets temperatur (det vil sige ved at opvarme gassen i cylinderen, hvilket tvinger stemplet til at bevæge sig). gælder kun, hvis - og dette udtryk angiver det arbejde, som gassen udfører - er lig nul. Overvej forskellen mellem varmetilførsel med et fast stempel og varmetilførsel med et stempel frigivet. I det andet tilfælde forbliver gastrykket i cylinderen konstant, og gassen vil både udvide sig, udføre arbejde på atmosfæren og øge dens indre energi (med stigende temperatur); varmen, der tilføres udefra, går kun delvist til at ændre gassens indre energi, mens resten af varmen går til at udføre arbejde ved gassen. $C_P$ $C_V$ $C_P$ $C_V$ $P dV$

Relationer til en ideel gas

For en ideel gas afhænger varmekapaciteten ikke af temperaturen. Følgelig kan entalpien udtrykkes som den indre energi kan repræsenteres som . Således kan vi også sige, at den adiabatiske eksponent er forholdet mellem entalpi og indre energi: $H=C_{P}T$ $U = C_V T$

\gamma ={\frac {H}{U}}.

På den anden side kan varmekapaciteter også udtrykkes i form af den adiabatiske eksponent ( ) og den universelle gaskonstant ( ): $\gamma$ $R$

C_{P}=\nu {\frac {\gamma R}{\gamma -1))\qquad

\qquad C_{V}=\nu {\frac {R}{\gamma -1)).

Det kan være ret svært at finde information om tabelværdier , mens tabelværdier angives oftere. I dette tilfælde kan du bruge følgende formel til at bestemme : $C_V$ $C_P$ $C_V$

C_{V}=C_{P}-\nu R,

hvor er mængden af stof i mol. For molære varmekapaciteter, hhv. $\nu$

C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1)),\qquad C_{V}={\frac {R}{\gamma -1))=C_{P}- R.

Relationer ved hjælp af antallet af frihedsgrader

Den adiabatiske eksponent ( ) for en ideel gas kan udtrykkes som antallet af frihedsgrader ( ) for gasmolekyler: $\gamma$ $jeg$

\gamma = \frac{i+2}{i}\qquad

eller

\qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}.

For en monoatomisk ideel gas (tre frihedsgrader) er den adiabatiske eksponent således:

\gamma ={\frac {5}{3}}\ca. 1{,}67,

mens for en diatomisk ideel gas (fem frihedsgrader) (ved stuetemperatur):

\gamma ={\frac {7}{5}}=1{,}4.

For en polyatomisk idealgas (seks frihedsgrader) er den adiabatiske eksponent:

\gamma ={\frac {6+2}{6}}={\frac {4}{3}}\ca. 1{,}33.

Luften på jorden er hovedsageligt en blanding af diatomiske gasser (ca. 78 % nitrogen - N 2 , og ca. 21 % oxygen - O 2 ), og under normale forhold kan den betragtes som ideel. En diatomisk gas har fem frihedsgrader (tre translationelle og to rotationsfrihedsgrader; vibrationsfrihedsgrader er ikke involveret undtagen ved høje temperaturer). Som en konsekvens, teoretisk set, har det adiabatiske indeks for luft værdien:

\gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1{,}4.

Dette stemmer godt overens med eksperimentelle målinger af luftens adiabatiske indeks, som tilnærmelsesvis giver en værdi på 1,403 (angivet i tabellen ovenfor).

Relationer til rigtige gasser

Når temperaturen stiger, bliver højere energirotations- og vibrationstilstande opnåelige for molekylære gasser, og dermed stiger antallet af frihedsgrader og den adiabatiske eksponent falder . $\gamma$

For virkelige gasser, både og stige med stigende temperatur, mens forskellen mellem dem forbliver uændret (i henhold til ovenstående formel = ), og denne forskel afspejler konstanten af værdien , det vil sige arbejdet udført under ekspansion. Værdien er forskellen mellem mængden af tilført varme ved konstant tryk og ved konstant volumen. Derfor stiger forholdet mellem de to mængder, , med stigende temperatur. Se også specifik varme . $C_P$ $C_V$ $C_P$ $C_V+R$ $PV$ $P \cdot V$ $\gamma$

Termodynamiske udtryk

Værdier opnået ved hjælp af omtrentlige forhold (især ) er i mange tilfælde ikke nøjagtige nok til praktiske tekniske beregninger, såsom flowberegninger gennem rørledninger og ventiler. Det er at foretrække at bruge eksperimentelle værdier end dem, der opnås ved hjælp af omtrentlige formler. Strenge forholdsværdier kan beregnes ved at bestemme ud fra egenskaber udtrykt som: $C_p - C_v = R$ $\frac{C_p}{C_v}$ $C_v$

C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}^{2)) {\left({\frac {\partial V}{\partial P))\right)_{T))}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\ delvis T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}.

Værdierne er nemme at måle, mens værdierne for skal bestemmes ud fra formler som denne. Se her flere detaljer om sammenhængen mellem $C_p$ $C_v$

Ovenstående relationer afspejler en tilgang baseret på udviklingen af strenge tilstandsligninger (såsom Peng-Robinson-ligningen ), som er i så god overensstemmelse med eksperimentet, at kun en mindre udvikling af en database med relationer eller værdier er forpligtet til at anvende dem . Værdier kan også bestemmes ved hjælp af finite difference-metoden . $C_v$

Adiabatisk proces

For en isentropisk, kvasi-statisk , reversibel adiabatisk proces, der forekommer i en simpel komprimerbar idealgas :

PV^{\gamma }={\tekst{konstant)),

hvor er trykket og er gassens volumen. $P$ $V$

Eksperimentel bestemmelse af den adiabatiske eksponent

Da de processer, der sker i små mængder gas under passagen af en lydbølge, er tæt på adiabatisk [6] , kan den adiabatiske eksponent bestemmes ved at måle lydens hastighed i gassen. I dette tilfælde vil den adiabatiske eksponent og lydens hastighed i gassen være forbundet med følgende udtryk:

c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m))}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M))},

hvor er den adiabatiske eksponent; - Boltzmanns konstant ; er den universelle gaskonstant ; er den absolutte temperatur i kelvin ; — molekylvægt ; - molær masse . $\gamma$ $k$ $R$ $T$ $m$ $M$

En anden måde at eksperimentelt bestemme værdien af den adiabatiske eksponent på er Clement-Desorme-metoden , som ofte bruges til undervisningsformål, når man udfører laboratoriearbejde. Metoden er baseret på at studere parametrene for en vis gasmasse, der passerer fra en tilstand til en anden ved to successive processer: adiabatisk og isokorisk. [7]

Laboratorieopsætningen inkluderer en glasbeholder forbundet til et manometer , en vandhane og en gummipære. Pæren tjener til at tvinge luft ind i ballonen. En speciel klemme forhindrer luftlækage fra cylinderen. Manometeret måler forskellen i tryk inde i og uden for cylinderen. Ventilen kan frigive luft fra cylinderen til atmosfæren.

Lad ballonen indledningsvis være ved atmosfærisk tryk og stuetemperatur. Processen med at udføre arbejde kan betinget opdeles i to faser, som hver omfatter en adiabatisk og isokorisk proces.

Trin 1:
Med hanen lukket, pump en lille mængde luft ind i cylinderen og klem slangen fast med en klemme. Dette vil øge trykket og temperaturen i tanken. Dette er en adiabatisk proces . Over tid vil trykket i cylinderen begynde at falde på grund af det faktum, at gassen i cylinderen begynder at afkøle på grund af varmeoverførsel gennem cylinderens vægge. I dette tilfælde vil trykket falde ved et konstant volumen. Dette er en isokorisk proces. Efter at have ventet på, at lufttemperaturen inde i cylinderen er udlignet med den omgivende temperatur, registrerer vi trykmålerens aflæsninger . $h_1$

2. trin:
Lad os nu åbne tap 3 i 1-2 sekunder. Luften i ballonen vil udvide sig adiabatisk til atmosfærisk tryk. Dette vil sænke temperaturen i ballonen. Så lukker vi for hanen. Over tid vil trykket i cylinderen begynde at stige på grund af det faktum, at gassen i cylinderen vil begynde at varme op på grund af varmeoverførsel gennem cylinderens vægge. I dette tilfælde vil trykket stige igen ved et konstant volumen. Dette er en isokorisk proces. Efter at have ventet på, at lufttemperaturen inde i cylinderen skal sammenlignes med den omgivende temperatur, registrerer vi trykmålerens aflæsning . For hver gren af de 2 stadier kan man skrive de tilsvarende adiabatiske og isochore ligninger. Du får et ligningssystem, der inkluderer den adiabatiske eksponent. Deres omtrentlige løsning fører til følgende beregningsformel for den ønskede værdi: $h_2$

\gamma ={h_{1} \over {h_{1}-h_{2}}}.

Ulempen ved denne metode er, at processerne med hurtig gasudvidelse i løbet af laboratoriearbejdet ikke er rent adiabatiske på grund af varmeoverførsel gennem beholdervæggen, og den pågældende gas er bestemt ikke ideel. Og selvom værdien opnået i løbet af laboratoriearbejdet helt sikkert vil indeholde en metodisk fejl, er der stadig forskellige måder at eliminere den på, for eksempel ved at tage højde for ekspansionstiden og mængden af tilført varme i løbet af denne tid. [otte]

Se også

Noter

↑ Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics 6. udg. Wiley
↑ Tolpygo K. B., Thermodynamics and statistical physics, 1966 , s. 83.
↑ Partington J. R., Rakovsky A. V., Course of Chemical Thermodynamics, 1932 , s. 41.
↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4. udg. McGraw Hill
↑ Langes håndbog i kemi, 10. udg. side 1524
↑ Saveliev, 2001 , s. 30-32.
↑ physdep.isu.ru
↑ physchem.msu.ru (utilgængeligt link)

Litteratur

Partington J. R., Rakovsky A. V. Kursus i kemisk termodynamik / Pr. fra engelsk. Ya. V. Gerasimova, uddybning og tilføjelser af prof. A.V. Rakovsky. — 2. udg., stereotypisk. - M. - L .: Goshimtekhizdat , 1932. - 383 s.
Tolpygo KB Termodynamik og statistisk fysik . - Kyiv: Publishing House of Kyiv University, 1966. - 364 s. (utilgængeligt link)
Savelyev IV Kursus i generel fysik: Molekylær fysik og termodynamik. - M . : Astrel, 2001. - T. 3. - 208 s. - 7000 eksemplarer. — ISBN 5-17-004585-9 .