Metrisk rum

Et metrisk mellemrum er et sæt , hvor en afstand er defineret mellem et hvilket som helst par af elementer .

Definitioner

Det metriske rum er et par , hvor er et sæt, og er en numerisk funktion, der er defineret på det kartesiske produkt , tager værdier i mængden af ikke-negative reelle tal, og er sådan, at $(X,\;d)$ $x$ $d$ $X\ gange X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( identitetsaksiom ).
$d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetriaksiom ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trekantaksiom eller trekantsulighed ).

Hvori

sættet kaldes det underliggende sæt af det metriske rum. $x$
elementerne i sættet kaldes punkter i det metriske rum. $x$
funktionen kaldes en metrik . $d$

Noter

Det følger af aksiomerne, at afstandsfunktionen er ikke-negativ, da $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Hvis vi repræsenterer trekanten ulighed som $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ for alle , og $x$ $y$ $z$

så følger symmetriaksiomet af identitetsaksiomet og trekantens ulighed.

Disse forhold udtrykker intuitive forestillinger om begrebet afstand og kaldes derfor afstandsaksiomer . [1] For eksempel at afstanden mellem forskellige punkter er positiv og afstanden fra til er den samme som afstanden fra til . Trekantuligheden betyder, at afstanden fra til gennem ikke er mindre end lige fra til . $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $z$ $y$ $x$ $z$

Notation

Normalt er afstanden mellem punkter og i metrisk rum angivet med eller . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$ $\rho (x,y)$

I metrisk geometri accepteres betegnelsen eller , hvis det er nødvendigt at understrege, at vi taler om . Symbolerne og bruges også (på trods af at udtrykket for point og ikke giver mening). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $xy$ $x$ $y$
I klassisk geometri accepteres betegnelserne eller (punkter er normalt angivet med store latinske bogstaver). $XY$ $|XY|$

Relaterede definitioner

En bijektion mellem forskellige metriske rum, og som bevarer afstande, kaldes en isometri ; $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$
- I dette tilfælde kaldes mellemrummene og
isometriske . $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$

Hvis , og for , så siger vi, at det konvergerer til : [2] .

x_{n}\in X

x\i X

d(x_{n},x)\til 0

n\til\infty

{\displaystyle x_{n))

x

x_{n}\to x

Hvis en delmængde af mængden , så i betragtning af begrænsningen af metrikken til mængden , kan vi opnå et metrisk rum , som kaldes et underrum af rummet .

M

x

{\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M))

d_{X}

M

(M,d_{M})

(X,d)

Et metrisk rum kaldes komplet , hvis en grundlæggende sekvens i det konvergerer til et eller andet element i dette rum.

En metrisk på kaldes intern , hvis to punkter og ind kan forbindes med en kurve med en længde vilkårligt tæt på . $d$ $M$ $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
- Et rum kaldes geodætisk , hvis to punkter og ind kan forbindes med en kurve med længde lig med . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
Ethvert metrisk rum har en naturlig topologi , som er baseret på et sæt åbne kugler , det vil sige sæt af følgende type:

B(x;r)=\{y\in M\midt d(x,y)<r\},

hvor er et punkt i og er et positivt reelt tal kaldet kuglens radius. Med andre ord er et sæt åbent, hvis det sammen med nogen af dets punkter indeholder en åben kugle centreret på det punkt.

x

M

r

O

To metrikker, der definerer den samme topologi, siges at være ækvivalente .
Et topologisk rum, der kan opnås på denne måde, siges at være metriserbart .
Afstanden fra et punkt til en delmængde i bestemmes af formlen: $d(x,S)$ $x$ $S$ $M$

{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\midt s\in S\))

. Så kun hvis hører til lukningen .

d(x,S)=0

x

S

Eksempler

Diskret metrisk :, hvisogi alle andre tilfælde. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
De reelle tal med en afstandsfunktion og det euklidiske rum er komplette metriske rum. $d(x,\;y)=|yx|$
Afstand af byblokke : , hvor , er vektorer. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$
Lad være rummet af kontinuerlige og afgrænsede afbildninger fra et topologisk rum til et metrisk rum . Afstanden mellem to kortlægninger og fra dette rum er defineret som $F(X,Y)$ $x$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\kolon x\i X \}$ .

Konvergensen af kortlægninger med hensyn til denne metrik svarer til deres ensartede konvergens på hele rummet .

x

I det særlige tilfælde, når er et kompakt rum og er en reel linje, opnår man rummet for alle kontinuerte funktioner på et rum med metrikken for ensartet konvergens.

x

Y

C(X)

x

Lad , , være funktionernes rum på intervallet , henholdsvis Lebesgue-integrerbar, Riemann-integrerbar og kontinuerlig. I dem kan afstanden bestemmes af formlen: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

For at denne funktion kan blive en metrik, er det i de to første rum nødvendigt at identificere funktioner, der adskiller sig på et sæt af mål 0 . Ellers vil denne funktion kun være en semimetrisk. (I rummet af funktioner, der er kontinuerte i et interval, falder funktioner, der adskiller sig på et sæt af mål 0, alligevel sammen.)

I løbet af tidens kontinuerligt differentierbare funktioner introduceres metrikken med formlen: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

hvor er metrikken for ensartet konvergens på (se ovenfor).

d_{0}

C([a,b])

Ethvert normeret rum kan omdannes til et metrisk rum ved at definere afstandsfunktionen $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Finit-dimensionelle rum af denne type kaldes Minkowski-rum ;
- I tilfælde af en dimension lig med to - Minkowski-planet .

Hvis er en sekvens af seminormer , der definerer et ( lokalt konveks ) topologisk vektorrum , så ${\displaystyle (p_{n})_{n\i N))$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

er en metrik, der definerer den samme topologi . (Kan erstattes af en hvilken som helst opsummerbar sekvens af strengt positive tal .)

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n))))

(a_{n})

Enhver forbundet Riemannmanifold kan omdannes til et metrisk rum ved at definere afstand som det mindste infimum af længderne af stier, der forbinder et par punkter. $M$

Sættet af hjørner af enhver forbundet graf kan omdannes til et metrisk rum ved at definere afstand som det mindste antal kanter i en sti, der forbinder hjørnerne. Mere generelt, hvis hver kant af en graf er tildelt et positivt tal (kantlængde), kan afstanden mellem toppunkter defineres som minimumsummen af kantlængder langs en hvilken som helst vej fra et toppunkt til et andet. $G$
- Et særligt tilfælde af det foregående eksempel er den såkaldte franske jernbanemetrik , som ofte nævnes som et eksempel på en metrik, der ikke genereres af normen .
Grafredigeringsafstanden definerer afstandsfunktionen mellem grafer .

Hamming distance i kodningsteori.
Inline metrics , såsom Levenshtein-afstand og andre tekstredigeringsafstande bestemmer afstanden over linjer .

Sættet af kompakte delmængder af ethvert metrisk rum kan gøres til et metrisk rum ved at definere afstanden ved hjælp af den såkaldte Hausdorff-metrik . I denne metrik er to delmængder tæt på hinanden, hvis det for et hvilket som helst punkt i et sæt er muligt at finde et tætpunkt i den anden delmængde. Her er den nøjagtige definition: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \venstre\{r\;\venstre|\;{\begin{matrix}\foralt x\i X\;\eksisterer y\i Y\kolon d(x, y)<r\\\foral y\i Y\;\eksisterer x\i X\kolon d(x,y)<r\end{matrix}}\right.\right\}

Sættet af alle kompakte metriske rum (op til isometri ) kan omdannes til et metrisk rum ved at definere afstanden ved hjælp af den såkaldte Gromov-Hausdorff-metrik .
Waserstein-metrikken definerer afstanden mellem to sandsynlighedsfordelinger .

Konstruktioner

Det kartesiske produkt af metriske rum kan udstyres med strukturen af et metrisk rum på mange måder, for eksempel:
1. $d_{X\ gange Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\ gange Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\ gange Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Disse metrics svarer til hinanden.

Egenskaber

Et metrisk rum er kompakt , hvis og kun hvis det er muligt at vælge en konvergent følgefølge fra en hvilken som helst sekvens af punkter (sekventiel kompakthed).
Et metrisk rum har muligvis ikke en tællig base , men den opfylder altid det første aksiom for tællelighed - den har en tællig base på hvert punkt.
- Desuden har hvert kompakt sæt i et metrisk rum en tællelig base i kvarteret.
- Desuden er der i hvert metrisk rum en sådan base, at hvert punkt i rummet kun tilhører et tælleligt sæt af dets elementer - en punkttællig base (men denne egenskab er svagere end metrizerbarhed selv i nærværelse af parakompakthed og Hausdorffness ).
metriske rum med korte afbildninger danner en kategori , normalt betegnet Met .

Variationer og generaliseringer

For et givet sæt kaldes en funktion en pseudometrisk eller en semimetrisk, hvis den for nogle punkter fra den opfylder følgende betingelser: $M$ $d\colon M\ gange M\ til \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetri );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trekant ulighed ).

Det vil sige, i modsætning til metrikken kan forskellige punkter i være på nul afstand. Det pseudometriske definerer naturligvis en metrik på kvotientrummet , hvor .

M

{\displaystyle M/{\sim ))

x\sim y\iff d(x,y)=0

For et givet sæt kaldes en funktion en kvasi -metrisk , hvis den for nogle punkter opfylder følgende betingelser: $M$ $d\colon M\ gange M\ til \mathbb{R}$ $x$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( kvasi-symmetri );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (generaliseret trekantulighed).
En metrik på et rum kaldes en ultrametrisk , hvis den opfylder den stærke trekantsulighed : For alle og i . $x$ $y$ $z$ $M$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Nogle gange er det praktisk at overveje -metrics , det vil sige metrics med værdier . For enhver -metrik kan man konstruere en finit metrik, der definerer den samme topologi. For eksempel, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)))$ eller $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

For ethvert punkt i et sådant rum danner sættet af punkter placeret i en begrænset afstand fra det et almindeligt metrisk rum, kaldet den metriske komponent . Især kan ethvert mellemrum med -metrisk betragtes som et sæt af almindelige metriske mellemrum, og afstanden mellem ethvert par af punkter i forskellige rum kan defineres som .

x

x

\infty

\infty

Nogle gange er en kvasimetrisk defineret som en funktion, der opfylder alle aksiomer for en metrisk, med mulig undtagelse af symmetri [3] [4] . Navnet på denne generalisering er ikke helt fastlagt [5] . Smith [4] kalder dem "semimetrics" i sin bog. Det samme udtryk bruges også ofte om to andre generaliseringer af metrikker.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( positivitet )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( positiv bestemthed )
3. d ( x , y )= d ( y , x )( symmetri overstreget)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trekant ulighed )

Eksempler på kvasi-metrics støder på i det virkelige liv. For eksempel, givet et sæt bjerglandsbyer, danner gangtiden mellem elementerne en kvasi-metrisk, da det tager længere tid at gå op end at gå ned. Et andet eksempel er topologien af byblokke , der har ensrettede gader, hvor stien fra punkt til punkt består af et andet sæt gader sammenlignet med stien fra til .

x

x

EN

B

B

EN

I metametri gælder alle metrikkens aksiomer, bortset fra at afstanden mellem identiske punkter ikke nødvendigvis er nul. Med andre ord er aksiomerne for metametri:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. følger af (men ikke omvendt.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Metametri vises i studiet af Gromov hyperbolske metriske rum og deres grænser. Den visuelle metametri på et sådant rum opfylder ligheden for punkter på grænsen, men er ellers omtrent lig med afstanden fra til grænsen. Metametri blev først defineret af Jussi Väisälä [6] .

d(x,x)=0

x

d(x,x)

x

Svækkelsen af de sidste tre aksiomer fører til begrebet en præmetrisk , det vil sige en funktion, der opfylder betingelserne:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

Udtrykket har ikke slået sig fast, nogle gange bruges det til at generalisere andre metrikker, såsom pseudo-semimetri [7] eller pseudometri [8] . I russisksproget litteratur (og i oversættelser fra russisk) optræder dette udtryk nogle gange som "prametrisk" [9] [10] . Enhver præmetrisk fører til en topologi på følgende måde. For en positiv reel , er en -kugle centreret i et punkt defineret som

r

r

s

B_{r}(p)=\{x\midt d(x,p)<r\}

. Et sæt kaldes åbent , hvis der for et hvilket som helst punkt i sættet findes en -bold centreret ved , som er indeholdt i sættet. Ethvert præmetrisk rum er et topologisk rum og faktisk et sekventielt rum . Generelt behøver -boldene i sig selv ikke at være åbne sæt ifølge denne topologi. Hvad angår metrik, er afstanden mellem to sæt og defineret som

s

r

s

r

EN

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Dette definerer en præmetrisk på Boolean af det præmetriske rum. Hvis vi starter med et (pseudo-semi-)metrisk rum, får vi en pseudo-semi-metrisk, det vil sige en symmetrisk præmetrisk. Enhver præmetrisk fører til præclosure-operatøren :

\operatørnavn {cl}

{\displaystyle \operatørnavn {cl} (A)=\{x\midt d(x,A)=0\))

Pseudo- , kvasi- og semi - præfikserne kan kombineres, for eksempel svækker det pseudo -kvasimetriske (nogle gange kaldet hemimetrisk ) både udskillelighedsaksiomet og symmetriaksiomet og er simpelthen en præmetrisk, der opfylder trekantsuligheden. For pseudokvasimetriske rum danner åbne kugler et grundlag for åbne sæt. Det enkleste eksempel på et pseudokvasimetrisk rum er et sæt med en præmetrisk givet af en funktion sådan, at og . Det tilhørende topologiske rum er Sierpinski-rummet . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

Sæt udstyret med udvidet pseudokvasimetri blev studeret af William Lover som "generaliserede metriske rum" [11] [12] . Fra et kategorisk synspunkt klarer udvidede pseudometriske rum og udvidede pseudokvasimetriske rum, sammen med deres tilsvarende ikke-ekspanderende kortlægninger , bedst på kategorier af metriske rum. Man kan tage vilkårlige produkter og biprodukter og danne et kvotientobjekt med en given kategori. Hvis vi udelader ordet "udvidet", kan vi kun tage endelige produkter og biprodukter. Hvis "pseudo" udelades, kan faktorobjekter ikke opnås. Approach spaces er en generalisering af metriske rum, der tager højde for disse gode kategoriske egenskaber.

Et lineært rum kaldes et lineært metrisk rum, hvis afstanden mellem dets elementer er givet i det, og de algebraiske operationer er kontinuerte i dets metriske, dvs. [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Eksempel: Det lineære rum af alle komplekse sekvenser kan konverteres til et lineært metrisk rum ved at indføre afstanden mellem dets elementer ved hjælp af formlen: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i))}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Et hypermetrisk rum er et metrisk rum, hvor hypermetriske uligheder er gældende. Det er, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

for alle punkter og heltal , sådan at . [13]

x_1,\prikker,x_n

{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))

\sum b_{i}=1

Bemærk, at for og , bliver den hypermetriske ulighed den sædvanlige trekantsulighed $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Et eksempel på et hypermetrisk rum: -rum . $\ell _{1}$

Historie

Maurice Fréchet introducerede først begrebet et metrisk rum [14] i forbindelse med overvejelsen af funktionsrum.

Noter

↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analyse. II bind. - M., Higher School , 1970. - s. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Funktionsanalyse. - M., Nauka , 1972. - s. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , s. 236-253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , s. 187-231.
↑ Buldygin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , s. tredive.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , s. 1-37.
↑ Vickers, 2005 , s. 328-356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - pp. 1-74.

Litteratur

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Et kursus i metrisk geometri. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Metriske rum . - Kvante . - 1990. - Nr. 1.
Vasiliev N. Metriske rum . - Kvante . - 1970. - Nr. 10.
Skvortsov V. A. Eksempler på metriske rum // Mathematical Education Library Arkiveret 12. januar 2014 på Wayback Machine . - 2001. - Udgave 9.
Schreider Yu. A. Hvad er afstand? // " Populære forelæsninger om matematik ". - M . : Fizmatgiz, 1963 - Nummer 38. - 76 s.
Lawvere, F. William (2002), Metriske rum, generaliseret logik og lukkede kategorier , Reprints in Theory and Applications of Categories (nr. 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; genoptrykt med tilføjet kommentar fra Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF4429
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. En introduktion til geometrisk fysik ] . - Singapore: World Scientific, 1995. - 699 s. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Funktionel analyse og kontrolteori: lineære systemer , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciliing domains with metric spaces , i Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics , vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, s. 236-253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolske rum , Expositiones Mathematicae bind 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Localic completion of generalized metric spaces, I , Theory and Applications of Categories bind 14 (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Arkiveret 26. april 2021 på Wayback Machine
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Resultater af videnskab og teknologi. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. Bind 17. - VINITI , 1988. - 232 s.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Metriske karakteristika for tilfældige variabler og processer. - K. : TViMS, 1998. - 290 s.
Helemsky A. Ya. Forelæsninger om funktionel analyse . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Russisk)

Metrisk rum

Definitioner

Noter

Notation

Relaterede definitioner

Eksempler

Konstruktioner

Egenskaber

Variationer og generaliseringer

Historie

Noter

Litteratur

Links