Ultrametrisk rum

Et ultrametrisk rum er et specialtilfælde af et metrisk rum , hvor metrikken opfylder den stærke trekantsulighed :

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))

En sådan metrik kaldes en ultrametrisk . Kort sagt, i ultrametrisk rum er det umuligt at få en større afstand ved at tilføje mindre, det vil sige, at "Archimedes-princippet" ikke respekteres .

Definition

Et ultrametrisk rum er et par , hvor er et sæt og er en funktion med reel værdi på det, også kaldet en metrisk , der opfylder følgende betingelser: $(M,d)$ $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( positiv bestemthed )
$d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetri )
${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))$ ( stærk trekantulighed )

Et ultrametrisk rum adskiller sig fra et metrisk ved, at trekantsuligheden erstattes af en styrket trekantulighed.

Egenskaber

Hver trekant er ligebenet, og hvis ikke alle dens sider er lige store, så er den ene kortere end de to andre.
Hvert punkt på bolden er dens centrum.
Hvis to bolde har et fælles punkt, så falder de enten sammen, eller også indeholder den ene fuldstændig den anden.
Topologien af et ultrametrisk rum er fuldstændig diskontinuerlig .

Eksempler

En diskret metrik (det vil sige afstanden mellem to punkter er 0, hvis de matcher og 1, hvis de ikke gør det) er en ultrametrisk.
Metrikken på er sådan, at for , og . $1,2,\dots ,n,\dots$ ${\displaystyle d(n,m)=d_{n))$ $n<m$ $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$
Et sæt ord af vilkårlig længde i et eller andet alfabet med ultrametrisk angivet som , hvor er nummeret på det første symbol, der er forskelligt i ordene og . $\Sigma$ ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n))$ $n$ $-en$ $b$
p-adiske tal danner et ultrametrisk rum med et naturligt ultrametrisk.
Modeller udstyret med naturlig ultrametri opstår i informationsteori, når man studerer karaktersekvenser og i faststoffysik, når man studerer spin-briller .

Litteratur

B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-adiske tal // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .