Kategori af metriske rum

Kategorien af ​​metriske rum eller Met er en kategori, hvis objekter er metriske rum, og hvis morfismer er korte afbildninger . (Fordi sammensætningen af ​​to korte kortlægninger er kort, danner disse objekter og morfismer en kategori.)

Begyndelsen af ​​undersøgelsen af ​​denne kategori blev givet af John Isbell .

Pile

Monomorfismer i Met er injektiv korte kortlægninger. Epimorfismer er korte kortlægninger med et overalt tæt billede. Isomorfismer - isometrier .

For eksempel er inddragelsen af ​​rationelle tal i de reelle tal en monomorfi og en epimorfi, men ikke en isomorfi.

Det tomme metriske rum er det oprindelige Met -objekt ; ethvert etpunkts metrisk rum er et terminalobjekt . Fordi startobjektet og slutobjektet er forskellige, er der ingen null-objekter i Met .

Injektive objekter i Met kaldes injektive metriske rum . Injektiv metriske rum blev introduceret og studeret først af Aronszajn & Panitchpakdi (1956 ), før studiet af Met som kategori; de kan også defineres internt i form af Helly-egenskaben af ​​deres metriske kugler, og på grund af denne alternative definition er de blevet kaldt hyperkonvekse rum. Ethvert metrisk rum har det mindste injektiv metriske rum, som det kan indlejres isometrisk i, kaldet dets injektiviske skrog .

Virker

Produktet af et endeligt sæt metriske rum i Met er det direkte produkt af afstandsrum i produktrum defineret som summen af ​​afstande i koordinatrum.

Produktet af et uendeligt sæt metriske rum eksisterer muligvis ikke, da afstande i basisrum muligvis ikke har et overskud. Det vil sige, Met er ikke en komplet kategori , men den er endeligt lukket. Der er intet biprodukt i Met .

Variationer og generaliseringer

Met er ikke den eneste kategori, hvis objekter er metriske rum; andre omfatter kategorien af ​​ensartet kontinuerlige funktioner , kategorien Lipschitz-funktioner og kategorien af ​​kvasi-Lipschitz-kortlægninger. Korte afbildninger er både ensartet kontinuerlige og Lipschitz, med en Lipschitz-konstant højst én.

Det viser sig også at være praktisk at udvide kategorien af ​​metriske rum, så for eksempel afstande får en værdi eller passerer til præmetriske rum, det vil sige at opgive trekantens ulighed og symmetri for metrikken.

Links