Funktion (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. juni 2022; checks kræver 4 redigeringer .

En funktion i matematik er en overensstemmelse mellem elementer i to mængder - en regel ifølge hvilken hvert element i det første sæt, kaldet definitionsdomænet , svarer til ét og kun ét element i det andet sæt, kaldet værdiområdet .

Det matematiske koncept for en funktion udtrykker en intuitiv idé om, hvordan en størrelse fuldstændig bestemmer værdien af en anden størrelse. Så værdien af variablen bestemmer entydigt værdien af udtrykket , og værdien af måneden bestemmer entydigt værdien af den efterfølgende måned. Et "hverdags" eksempel på en funktion: hver person kan utvetydigt tildeles sin biologiske far. $x$ $x^{2}$

På samme måde producerer en forudbestemt algoritme , givet værdien af inputdataene, værdien af outputdataene.

Ofte refererer udtrykket "funktion" til en numerisk funktion , det vil sige en funktion, der sætter nogle tal på linje med andre. Disse funktioner er bekvemt repræsenteret i form af grafer .

Historie

Udtrykket "funktion" (i en noget snævrere betydning) blev første gang brugt af Leibniz (1692). Til gengæld gav Johann Bernoulli i et brev til Leibniz dette udtryk en betydning tættere på den moderne [1] [2] .

Oprindeligt kunne begrebet en funktion ikke skelnes fra begrebet en analytisk repræsentation. Efterfølgende dukkede definitionen af en funktion op, givet af Euler (1751), derefter af Lacroix (1806), næsten i sin moderne form. Endelig blev en generel definition af en funktion (i sin moderne form, men kun for numeriske funktioner) givet af Lobachevsky (1834) og Dirichlet (1837) [3] .

Ved slutningen af det 19. århundrede var begrebet en funktion vokset ud af rækkevidden af numeriske systemer. Først blev begrebet en funktion udvidet til vektorfunktioner , Frege introducerede hurtigt logiske funktioner ( 1879 ), og efter fremkomsten af mængdeteori formulerede Dedekind ( 1887 ) og Peano ( 1911 ) en moderne universel definition [2] .

Uformel definition

En funktion defineret på en mængde med værdier i mængden kaldes en "regel", således at hvert element fra svarer til et element, der ligger i og desuden kun et [4] . $f$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $f(x)$ $Y$

Accepteret notation: , , forkortet eller blot . $f:X\til Y$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ $f\kolon x\mapsto y$ $y=f(x)$

En graf kaldes , hvor er et direkte produkt af . $f:X\til Y$ ${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\i X\ gange Y\midt x\i X\,\))$ $X\ gange Y$

Generelt set er begreberne for en funktion og dens graf ækvivalente, og da sidstnævnte er defineret matematisk mere stringent, er den formelle (set fra mængdeteoriens synspunkt) definition af en funktion dens graf [4] .

Til funktion : $f:X\til Y$

sættet kaldes opgaveområdet eller funktionsdefinitionsområdet , betegnet med eller ; $x$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
sættet kaldes funktionens område , betegnet med eller ( ); $Y$ $E(f)$ $\mathrm {kode} \,f$ $\mathrm {løb} \,f$
hvert element i sættet kaldes en uafhængig variabel eller funktionsargument ; $x$ $x$

elementet, der svarer til det faste element , kaldes funktionens partielle værdi i punktet . $y=f(x)$ $x$ $x$

Bemærkninger:

En funktion , som kaldes en kortlægning af et givet sæt ind i sig selv eller en transformation , især hvis , så taler man om en identisk transformation , ofte betegnet med . $f$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\operatørnavn{id}_X$

Hvis udtrykket operatør bruges , så siges operatøren at handle fra sæt til sæt, og der tilføjes en post . $f$ $x$ $Y$ $y=fx$
Hvis de vil understrege, at korrespondancereglen anses for kendt, så siger de, at der er givet en funktion på sættet , der tager værdier fra . Hvis funktionen skal findes som et resultat af at løse en eller anden ligning, så siger de, at det er en ukendt eller implicit givet funktion. I dette tilfælde anses funktionen stadig for givet, om end indirekte. $x$ $f$ $Y$ $f$ $f$
Da funktionernes lighed (i enhver af dens definitioner) ikke kun omfatter sammenfaldet af korrespondancereglerne mellem elementerne i mængderne, men også sammenfaldet af opgaveområderne, så er funktionerne og , hvor er mængden af reelle tal og er mængden af positive reelle tal, er forskellige funktioner. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$
Der er også en operatornotation for en funktion , som kan findes i generel algebra . $y=x^{f}$
Kirkens lambdaregning bruger notationen for en funktion . $\lambda xy$

Flere argumentfunktioner:

Generelt kan en funktion defineres på et lineært rum , i hvilket tilfælde man har at gøre med en funktion af flere argumenter.

Hvis mængden er et kartesisk produkt af mængder , så viser afbildningen (hvor er mængden af reelle tal) sig at være en -place-mapping; i dette tilfælde kaldes elementerne i det ordnede sæt argumenter (af en given -lokal funktion), som hver løber gennem sit eget sæt: $x$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ $f\kolon X\til Y$ $Y$ $n$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n})$ $n$

x_{i}\i X_{i}

hvor .

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

I dette tilfælde betyder notationen , at . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$

Måder at definere en funktion

Analytisk metode

En funktion kan defineres ved hjælp af et analytisk udtryk (for eksempel en formel). I dette tilfælde betegnes det som en korrespondance i form af ligestilling.

Eksempler:

En funktion givet af en enkelt formel:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} ) ;$

Stykkevis defineret funktion:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Implicit defineret funktion:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Grafisk måde

Funktionen kan også specificeres ved hjælp af en graf. Lade være en reel funktion af variable. Så er dens graf et sæt punkter i det dimensionelle rum: . Dette sæt punkter er ofte en hyperflade . Især når grafen for en funktion i nogle tilfælde kan repræsenteres af en kurve i todimensionelt rum. $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;$ $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\))$ $n=1$

For funktioner med tre eller flere argumenter er en sådan grafisk repræsentation ikke anvendelig. Men selv for sådanne funktioner kan man komme op med en visuel semi-geometrisk repræsentation (for eksempel kan hver værdi af den fjerde koordinat af et punkt være forbundet med en bestemt farve på grafen, som det sker på graferne for komplekse funktioner ).

Optælling af værdier

En funktion på et endeligt sæt kan defineres af en værditabel - ved direkte at angive dens værdier for hvert af elementerne i definitionsdomænet. Denne metode bruges for eksempel til at definere booleske funktioner . Faktisk er denne metode også en opgave for funktionens graf , hvis funktionens graf betragtes som et sæt af ordnede par af formen . $f\kolon A\til B$ $(x,f(x))$

Generelle egenskaber

Sammensætning af kortlægninger

Lad to mappinger gives, således at værdisættet for den første er en delmængde af den andens domæne. Derefter matcher den successive handling af den første og anden afbildning på ethvert argument i den første afbildning entydigt et element fra området for den anden afbildning:

$f:X\til Y,\;\;g:K\til Z\;\;(Y\delsæt K)\;\Højrepil \eksisterer \;h:X\til Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\foralt x\i X)$

I et sådant tilfælde kaldes det en sammensætning af kortlægninger , og det er angivet med et udtryk , der lyder " efter ". Generelt er sammensætning ikke- kommutativ : eller $h$ $f$ $g$ $g\cirkel f$ $g$ $f$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Injektion

En funktion kaldes injektiv (eller blot injektion ), hvis to forskellige elementer fra sættet også er forbundet med forskellige (ulige) elementer fra sættet . Mere formelt er en funktion injektiv , hvis fra . Det er med andre ord injektiv, hvis . $f:X\til Y$ ${\displaystyle x_{1},\,x_{2))$ $x$ $Y$ $f$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow x_{1}=x_{2))$ $f$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjection

En funktion kaldes surjektiv (eller blot surjektion ), hvis hvert element i sættet kan associeres med mindst ét element i sættet . Det vil sige, at en funktion er surjektiv , hvis . $f:X\til Y$ $Y$ $x$ $f$ $\forall y\in Y\;\eksisterer x\i X:f(x)=y$

En sådan kortlægning kaldes også en sæt - til - sæt - mapping . Hvis surjektivitetsbetingelsen overtrædes, kaldes en sådan kortlægning en sæt - til - sæt - kortlægning . $x$ $Y$ $x$ $Y$

Bijection

En funktion, der er både surjektiv og injektiv, kaldes bijektiv eller en-til-en ( bijektion for kort ).

Invers funktion

Hvis funktionen er en bijektion , så findes der for hvilken . $f\kolon X\til Y$ $f^{{-1}}\kolon Y\til X$ $x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)$

Funktionen i dette tilfælde kaldes den omvendte af ; desuden er den også bijektiv. $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$

Forklaring:

Da det er en indsprøjtning, generelt set en funktion, følger det af indsprøjtningen, at den gives den . En funktion er injektiv, fordi den er en funktion, og dens surjektivitet følger af dens definition. $f$ $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $f$

Generelt siges en kortlægning, der har en invers, at være inverterbar . Reversibilitetsegenskaben består i den samtidige opfyldelse af to betingelser: og . $f^{-1}\circ f=\operatørnavn {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operatørnavn {id} _{Y}$

Sammentrækning og fortsættelse af funktion

Lad en mapping gives og et sæt, der er en streng delmængde af sættet $f\kolon X\til Y$ $M\subsetneq X,$ $x.$

En mapping , der antager de samme værdier som funktionen , kaldes funktionens begrænsning (eller på anden måde begrænsning ) til sættet . $g\kolon M\til Y$ $M$ $f$ $f$ $M$

Begrænsningen af en funktion til et sæt betegnes som . $f$ $M$ $f{\big |}_{M}$

I dette tilfælde kaldes den oprindelige funktion tværtimod udvidelsen af funktionen til sættet . $f,$ $g$ $x$

Billede og prototype

Billede og preimage (når de vises), værdi ved punkt

Elementet , der er knyttet til elementet , kaldes billedet af elementet (punkt) (når det vises ) eller visningsværdien ved punktet . $y=f(x)$ $x$ $x$ $f$ $f$ $x$

Hvis vi tager hele delmængden af funktionsdefinitionsområdet , så er sættet af billeder af alle elementer i dette sæt, dvs. delmængden af værdiområdet (funktion ) af formen $EN$ $f$ $f$

f(A):=\{f(x)\kolon x\i A\}

kaldes billedet af mængden under mapping . Dette sæt betegnes nogle gange som eller . $EN$ $f$ $f[A]$ $A^{f}$

Billedet af hele domænet af en funktion kaldes billedet af funktionen eller, hvis funktionen er en surjektion , kaldes det generelt funktionens rækkevidde .

Og omvendt, idet vi tager en delmængde i rækken af værdier for funktionen , kan vi overveje sættet af alle elementer i området for indstilling af funktionen , hvis billeder falder ind i sættet , det vil sige sættet af formen $B$ $f$ $f$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\kolon f(x)\i B\}

som kaldes det ( fulde ) omvendte billede af sættet (når det er kortlagt ). $B$ $f$

Især når mængden består af et enkelt element - f.eks. - så har mængden en enklere notation $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\kolon f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

Egenskaber for billeder og prototyper

Billedegenskaber

Lad og være delmængder af domænet for indstilling af funktionen . Så har billederne af sættene og under mapping følgende egenskaber: $EN$ $B$ $f\kolon X\til Y$ $EN$ $B$ $f$

$f[\varnothing ]=\varnothing$ ;
$A\neq \varnothing \Rightarrow f[A]\neq \varnothing$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

billedet af foreningen af sæt er lig med foreningen af billeder: $f[A\kop B]=f[A]\kop f[B];$
billedet af skæringspunktet af sæt er en delmængde af skæringspunktet af billeder: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

De sidste to egenskaber kan generaliseres til et hvilket som helst antal sæt.

Hvis kortlægningen er inverterbar (se ovenfor ), så er det omvendte billede af hvert punkt i området et-punkt, så for inverterbare kortlægninger gælder følgende stærke egenskab for skæringspunkter:

billedet af skæringspunktet er lig med skæringspunktet mellem billederne :. $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Egenskaber for prototyper

Lad og vær delmængder af sættet . Så har de omvendte billeder af sættene og under kortlægningen følgende to åbenlyse egenskaber: $EN$ $B$ $Y$ $EN$ $B$ $f\kolon X\til Y$

Forbilledet af forening er lig med foreningen af forbilleder: ; $f^{-1}[A\kop B]=f^{-1}[A]\kop f^{-1}[B]$
Det omvendte billede af skæringspunktet er lig med skæringspunktet mellem forbillederne: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Disse egenskaber kan generaliseres til et hvilket som helst antal sæt.

Adfærd

Stigende og faldende

Lad derefter en funktion gives $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

en funktion kaldes ikke -aftagende på if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

en funktion kaldes ikke- stigende på if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Højrepil f(x)\leq f(y);

en funktion kaldes stigende med if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Højrepil f(x)>f(y);

en funktion kaldes aftagende med if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Højrepil f(x)<f(y);

Ikke-stigende og ikke-faldende funktioner kaldes ( ikke-strengt ) monotone , mens stigende og faldende funktioner kaldes strengt monotone . For en vilkårlig funktion kan man finde intervaller af monotonitet - delmængder af domænet, hvorpå funktionen er på den ene eller anden måde (strenghed vælges i de fleste tilfælde efter aftale) er monotone.

Periodicitet

En funktion kaldes periodisk med en periode, hvis ligheden $f\kolon M\til N$ $T\ikke=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Da en funktion, der er periodisk med en periode, også er periodisk med perioder af formen , så generelt den mindste periode af funktionen. $T$ $nT\;(n\i \mathbb {N} )$ $T$

Hvis denne lighed ikke er opfyldt for nogen , kaldes funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\ikke =0$ $f$

Paritet

En funktion kaldes ulige hvis ligheden $f\kolon X\til \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \foralt x\i X.

Grafen for en ulige funktion er symmetrisk i forhold til oprindelsen.

En funktion kaldes, selvom ligheden $f$

f(-x)=f(x),\quad \foralt x\i X.

Grafen for en lige funktion er symmetrisk om y-aksen.

Funktion ekstrema

Lad en funktion være givet og et punkt være et indre punkt i opgaveområdet Så $f\colon X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\i X$ $f.$

$x_{0}$ kaldes et lokalt maksimumpunkt, hvis der eksisterer et kvarter til punktet, således at $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ kaldes et lokalt minimumspunkt, hvis der findes et kvarter til punktet, således at $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Funktioner i mængdeteori

Afhængig af referenceområdets og værdiområdets karakter skelnes der mellem følgende områder:

abstrakte sæt - sæt uden yderligere struktur;
sæt, der er udstyret med en vis struktur.

I tilfælde 1 betragtes kortlægninger i den mest generelle form, og de mest generelle spørgsmål løses - for eksempel om sammenligning af mængder med hensyn til kardinalitet : hvis der er en en-til-en mapping (bijektion) mellem to sæt, så er disse sæt kaldes ækvivalente eller ækvivalente . Dette giver os mulighed for at klassificere sættene i henhold til deres kardinaliteter, og de mindste af dem, i rækkefølge af stigende, er som følger:

endelige mængder - her falder mængdens kardinalitet sammen med antallet af elementer;
tællelige mængder - sæt svarende til mængden af naturlige tal ;
potensmængder af et kontinuum (for eksempel et segment af den reelle linje eller selve den reelle linje ).

Således opnås følgende typer af kortlægninger - i henhold til definitionsdomænets magt:

finite funktioner er afbildninger af endelige mængder;
sekvenser — en mapping af et tælleligt sæt til et vilkårligt sæt;
kontinuumsfunktioner er afbildninger af utallige mængder til endelige, tællelige eller utallige mængder.

I tilfælde 2 er hovedobjektet for overvejelser strukturen givet på sættet (hvor elementerne i sættet er udstyret med nogle yderligere egenskaber, der forbinder disse elementer, for eksempel i grupper , ringe , lineære rum ) og hvad der sker med dette struktur under kortlægning: hvis med en en-til-en kortlægning bevares egenskaberne for en given struktur, så siger vi, at der etableres en isomorfi mellem de to strukturer . Således kan isomorfe strukturer givet i forskellige sæt generelt set ikke skelnes, derfor er det i matematik sædvanligt at sige, at en given struktur betragtes som "op til isomorfisme ".

Der er en bred vifte af strukturer, der kan defineres på sæt. Dette omfatter:

ordensstruktur - delvis eller lineær rækkefølge af elementer i et sæt;
algebraisk struktur - gruppeoid , semigruppe , gruppe , ring , krop , integritetsdomæne eller felt , defineret på sættets elementer;
strukturen af det metriske rum - på sættets elementer er afstandsfunktionen indstillet ;
strukturen af det euklidiske rum - det skalære produkt er sat på elementerne i sættet ;
strukturen af det topologiske rum - et sæt " åbne sæt " (som ikke indeholder deres egen grænse ) er specificeret på sættet;
strukturen af det målbare rum — sigma-algebraen af delmængder af det oprindelige sæt er specificeret på sættet (for eksempel ved at angive et mål med den givne sigma-algebra som domænet for funktionsdefinitionen)

Funktioner med en bestemt egenskab findes muligvis ikke på de sæt, der ikke har den tilsvarende struktur. For eksempel, for at formulere en sådan egenskab som kontinuiteten af en funktion defineret på et sæt, skal man definere en topologisk struktur på dette sæt .

Variationer og generaliseringer

Delvist definerede funktioner

En delvist defineret funktion fra et sæt til et sæt er en funktion med et opgaveområde . $f$ $x$ $Y$ $f\kolon X'\til Y$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Nogle forfattere mener måske med selve funktionen kun dens indsnævring, således at funktionen er defineret helt på det "indsnævrede" definitionsdomæne. Dette har sine fordele: for eksempel er det muligt at skrive , hvor - i dette tilfælde betyder det . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=1/x,$ ${\mathop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

Funktioner med flere værdier

En given argumentværdi skal matche præcis én funktionsværdi på grund af selve funktionsdefinitionen. Men på trods af dette kan man ofte møde de såkaldte multi- valued-funktioner . Faktisk er dette intet andet end en bekvem notation for en funktion, hvis rækkevidde i sig selv er en familie af sæt.

Lad , hvor være en familie af delmængder af sættet . Så vil der være et sæt til hver . $f\kolon X\til \mathbb {B}$ $\mathbb {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\i X$

En funktion har en enkelt værdi, hvis hver værdi af argumentet svarer til en enkelt værdi af funktionen. En funktion har flere værdier , hvis mindst én argumentværdi svarer til to eller flere funktionsværdier [5] .

Se også

Noter

↑ V. A. Zorich . Kapitel I. Nogle generelle matematiske begreber og notation. § 3. Funktion // Matematisk analyse. Del I. - fjerde, rettet. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra og begyndelsen af analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet. - M., Uddannelse, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . — C. 86-87
↑ G. E. Shilov . Kapitel 2. Elementer i mængdelære. § 2.8. Det generelle koncept for en funktion. Graf // Matematisk analyse (funktioner af en variabel). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 s.
↑ 1 2 V. A. Zorich . Kapitel I. Nogle generelle matematiske begreber og notation. § 3. Funktion // Matematisk analyse. Del I. - fjerde, rettet. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. Håndbog i matematik. For videnskabsmænd og ingeniører. M., 1973 Kapitel 4. Funktioner og grænser, differential- og integralregning. 4.2. Funktioner. 4,2-2. Funktioner med særlige egenskaber . ( a ), s.99. . Dato for adgang: 26. januar 2012. Arkiveret fra originalen 19. januar 2015. (ubestemt)

Litteratur

Fungere. Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Den store russiske encyklopædi", 1995.
Klein F. Det generelle koncept for en funktion . I: Elementær matematik fra et højere synspunkt. T. 1. M.-L., 1933.
I. A. Lavrov ogL. L. Maksimova Del I. Sætteori//Problemer i mængdeteori, matematisk logik og algoritmer. -3. udg. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 s. —ISBN 5-02-014844-X.
J.L. Kelly . Kapitel 0. Indledende// Generel topologi. -2. udg. -M .: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 s.
A. N. Kolmogorov . Hvad er en funktion // "Quantum" : scientific-pop. Fysisk.-Matematik. magasin - M . : "Nauka" , 1970. - Nr. 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Hvordan begrebet en funktion opstod og udviklede sig // "Kvant" : nauch.-pop. Fysisk.-Matematik. magasin - M . : "Nauka" , 1977. - Nr. 7 . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Funktionskonceptet . MacTutor History of Mathematics-arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skotland (oktober 2005). (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 11946892t GND : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594