Faktoriel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. januar 2022; checks kræver 26 redigeringer .

Faktoriel er en funktion defineret på sættet af ikke-negative heltal . Navnet kommer af lat. factorialis - virker, producerer, formerer sig; betegnes , udtales en factorial . Faktorialet af et naturligt tal er defineret som produktet af alle naturlige tal fra 1 til og med : $n!$ $n$ $n$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

For eksempel,

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

For tages som en aftale, at $n=0$

0!=1

. Faktorerne for alle tal udgør sekvensen A000142 i OEIS ; værdier i videnskabelig notation er afrundede

n	n !
0	en
en	en
2	2
3	6
fire	24
5	120
6	720
7	5040 _
otte	40 320
9	362 880
ti	3 628 800
elleve	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
fjorten	87 178 291 200 [2]
femten	1.307.674.368.000 [ 3 ] _ _
16	20.922.789.888.000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
atten	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
tyve	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
halvtreds	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9,332621544⋅10 157
450	≈ 1,733368733⋅10 1000
1000	≈ 4,023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6,412337688⋅10 10000
10.000 _	≈ 2,846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1,205703438⋅10 100000
100.000 _	≈ 2,824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2,503898932⋅10 1000004
1.000.000 _ _	≈ 8,263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9,956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

Faktorialet bruges aktivt i forskellige grene af matematikken: kombinatorik , matematisk analyse , talteori , funktionel analyse osv.

Factorial er en ekstremt hurtigt voksende funktion. Den vokser hurtigere end nogen eksponentiel funktion eller enhver potensfunktion , og også hurtigere end nogen sum af produkterne af disse funktioner. Eksponentialfunktionen vokser dog hurtigere end faktorialet, ligesom de fleste dobbelteksponenter, som f.eks . $n^{n}$ $e^{{e^{n}}}$

Egenskaber

Tilbagevendende formel

Faktorialet kan gives ved følgende rekursive formel :

n!= \begin{cases} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{cases}

Kombinatorisk fortolkning

I kombinatorik fortolkes fakultetet af et naturligt tal n som antallet af permutationer (ordener) af et sæt af n elementer.

For eksempel, for et sæt { A , B , C , D } med 4 elementer, er der 4! = 24 permutationer:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

Den kombinatoriske fortolkning af den faktorielle bekræfter aftalens hensigtsmæssighed - antallet af permutationer af det tomme sæt er lig med én. Desuden formlen for antallet af placeringer af elementer ved $0!=1$ $n$ $m$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

når bliver til en formel for antallet af permutationer af elementer (af orden ), som er lig med . $n=m$ $n$ $n$ $n!$

Forholdet til gammafunktionen

Faktorialet er relateret til gammafunktionen af et heltalsargument ved relationen

n!=\Gamma (n+1)

Det samme udtryk bruges til at generalisere begrebet faktorial til mængden af reelle tal . Ved at bruge den analytiske fortsættelse af gammafunktionen udvides definitionsdomænet for faktorialet også til hele det komplekse plan , eksklusive entalspunkter ved . $n=-1,-2,-3\ldots$

En direkte generalisering af faktorialet til mængderne af reelle og komplekse tal er pi-funktionen , som kan defineres som $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(integral definition).

Pi-funktionen af et naturligt tal eller nul falder sammen med dets faktoriale: . Ligesom faktoren opfylder pi-funktionen gentagelsesrelationen . $\Pi (n)=n!$ $\Pi (z)=z\Pi (z-1)$

Stirlings formel

Stirling-formlen er en asymptotisk formel til beregning af faktoren:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}}\right)\right),

se O-stor [12] .

I mange tilfælde, for en omtrentlig beregning af faktoren, er det nok kun at overveje hovedbegrebet i Stirling-formlen:

n! \ca. \sqrt{2\pi n}\venstre(\frac{n}{e}\right)^n.

Det kan man samtidig argumentere for

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

Stirlings formel giver dig mulighed for at få omtrentlige værdier af fakulteter af store tal uden direkte at multiplicere en sekvens af naturlige tal. For eksempel ved hjælp af Stirling-formlen er det nemt at beregne det

100! ≈ 9,33x10157 ;
1000! ≈ 4,02 x 10 2567 ;
10.000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Primfaktorisering

Hvert primtal p kommer ind i udvidelsen af n ! med primfaktorer til den potens defineret af følgende formel:

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \højre\rgulv + \ldots.

På denne måde

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

hvor produktet overtages alle primtal. Det kan ses, at for enhver primtal p større end n er den tilsvarende faktor i produktet 1; derfor kan produktet kun overtages primtal p højst n .

Forbindelse med den afledede af en potensfunktion

For et ikke-negativt heltal n :

\venstre(x^{n}\højre)^{{(n)}}=n!

For eksempel:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Andre egenskaber

For et naturligt tal :

n

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

For enhver :

n>1

n!

er ikke et kvadrat af et heltal; For enhver :

n>4

n!

ender på 0; For enhver :

n>9

n!

slutter med 00. Hvis et primtal:

n

(n-1)!+1

er delelig med ( Wilsons sætning )

n

Historie

Faktorielle udtryk optrådte i tidlig forskning i kombinatorik , selvom den franske matematiker Christian Kramp først foreslog en kompakt notation i 1808 [13] . En vigtig milepæl var opdagelsen af Stirlings formel , som James Stirling offentliggjorde i sin afhandling The Differential Method ( lat. Methodus differentialis , 1730). Lidt tidligere blev næsten den samme formel udgivet af Stirlings ven Abraham de Moivre , men i en mindre fuldstændig form (i stedet for en koefficient var der en ubestemt konstant) [14] . $n!$ ${\sqrt {2\pi ))$

Stirling studerede egenskaberne af factorial i detaljer, op til at afklare spørgsmålet om, hvorvidt det er muligt at udvide dette koncept til vilkårlige reelle tal. Han beskrev flere mulige måder at implementere denne idé på og mente, at:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling vidste ikke, at Leonhard Euler allerede havde fundet en løsning på problemet et år tidligere . I et brev til Christian Goldbach beskrev Euler den nødvendige generalisering [15] :

x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)))

Ved at udvikle denne idé introducerede Euler næste år, 1730, begrebet gammafunktionen i form af et klassisk integral. Han offentliggjorde disse resultater i tidsskriftet for St. Petersburg Academy of Sciences i 1729-1730.

Generaliseringer

Dobbelt faktoriel

Den dobbelte faktor for et tal n betegnes n ‼ og er defineret som produktet af alle naturlige tal i segmentet [1, n ], der har samme paritet som n .

For selv n :

n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\color{hvid}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

For ulige n :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\color {hvid}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Forholdet mellem de dobbelte fakulteter af to tilstødende ikke-negative heltal og den almindelige faktor for et af dem.

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Udledning af formler

Formel for lige n :

n!! = 2^{{\farve{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Afledning af formlen: $\begin{align}n!! & = {\color{Grå}\underbrace{\color{Sort}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Sort}\tfrac{n}{2}}} = { \color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Sort}\tfrac{n}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Sort}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\color{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{hvid} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}$

Et eksempel , der illustrerer udledningen af den ovenfor anvendte formel:

\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

Formel for ulige n :

n!! = \frac{n!}{2^{{\color{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

Afledning af formlen: $\begin{align}n!! & = {\color{Grå}\underbrace{{\color{Sort}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Sort}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Grå}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Sort}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Grå}\overbrace{\color{Sort}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Sort}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Grå}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\color{Sort}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Grå}\overbrace{\color{Sort}1 \cdot {\color {OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Sort}n}} {\color{Grå}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Sort}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Grå}\underbrace{{\color{Sort}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Sort}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1 )!!} \end{align}$ Det er således muligt at vise forholdet mellem de dobbelte factorials af to tilstødende ikke-negative heltal gennem den sædvanlige factorial for en af dem. Dernæst fortsætter vi med at udlede formlen for dobbeltfaktorialet af ulige n . Lad os gå et trin tilbage (før den eksplicitte fremkomst af ( n -1)!! ) og udføre nogle identiske algebraiske transformationer på nævneren: $\begin{align}& {\color{Grå}\underbrace{{\color{Sort}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Sort}\frac {n-1}{2))} = {\color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Sort}\tfrac{ n-1}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _{\color{Sort}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\color{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ farve{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}$ Vi erstatter det resulterende udtryk for nævneren tilbage i formlen for : $n!!$ $n!! = \frac{n!}{2^{{\color{hvid}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}$

Et eksempel , der illustrerer udledningen af den ovenfor anvendte formel:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {white}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\color {hvid} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Sort}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\farve {hvid}\ overbrace {\farve {Sort}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\color {hvid}\overbrace {\color {Sort}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Sort}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{aligned}}

Efter at have foretaget erstatningen for henholdsvis lige n og ulige n , hvor er et ikke-negativt heltal, får vi: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

for et lige tal:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

for et ulige tal:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Efter aftale : Også denne lighed gælder naturligvis: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

Den dobbelte faktor er, ligesom den almindelige faktor, kun defineret for ikke-negative heltal.

Rækkefølgen af værdier n !! starter sådan her [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Multiple factorial

Den m -foldede faktortal n er betegnetog defineret som følger. Lad tallet n være repræsenteret somhvorThen [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\mathbb {Z}),$ $r \i \{0,1,\ldots ,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

De ordinære og dobbelte fakulteter er særlige tilfælde af m -fold faktorialet for henholdsvis m = 1 og m = 2 .

Multifaktorialet er relateret til gammafunktionen ved følgende forhold [18] :

n\underbrace {!!\ldots !}_{m}=\prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right))).

Det er også muligt at skrive multiple factorial i en forkortet form . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ ${\displaystyle n!_{(m)))$

Ufuldstændig faktoriel

Faldende faktoriel

Den faldende faktor er udtrykket

(n)_k = n^{\understregning{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

For eksempel:

n = 7; k = 4 ( n − k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Den faldende faktor giver antallet af placeringer fra n til k .

Stigende faktoriel

En stigende faktorial er et udtryk

n^{(k)} = n^{\overline{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Primorial eller primorial

Primorial eller primorial ( eng. primorial ) af et tal n er betegnet med p n # og er defineret som produktet af de første n primtal. For eksempel,

p_{5}\#=2\ gange 3\ gange 5\ gange 7\ gange 11=2310

Nogle gange er et primtal et tal defineret som produktet af alle primtal, der ikke overstiger en given n . $n\#$

Sekvensen af primorials (inklusive ) starter sådan her [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 2102 800 …

Fibonorial eller fibonaccial

Produktet af de første par Fibonacci-tal. Skrevet n ! F. _

For eksempel: 6! F = . $1\ gange 1\ gange 2\ gange 3\ gange 5\ gange 8=240$

Superfactorials

Neil Sloane og Simon Plouffet definerede i 1995 det superfaktorielle som produktet af de første n faktorialer. Ifølge denne definition er den superfaktorielle af fire lig med

\operatorname {sf} (4)=1!\ gange 2!\ gange 3!\ gange 4!=288

(da der ikke er nogen etableret betegnelse, anvendes en funktionel).

Alt i alt

\operatørnavn{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^1.

Rækkefølgen af superfaktorielle tal starter således [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000 000, 265 , 265 790 267 296 391 960,000,000,000,000,000,000

Ideen blev generaliseret i 2000 af Henry Bottomley , hvilket førte til hyperfaktorielle ( eng. Hyperfaktorielle ), som er produktet af de første n superfaktorielle. Sekvensen af hyperfaktorielle tal begynder således [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Fortsat tilbagevendende kan man definere multiple-level factorial , eller m - niveau factorial af n , som produktet af ( m − 1)-niveau factorials af tallene 1 til n , dvs.

\operatørnavn {mf}(n,m)=\operatørnavn {mf}(n-1,m)\operatørnavn {mf}(n,m-1)=\prod _{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \vælg nk}},

hvor for og $\operatørnavn{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\operatørnavn{mf}(0,m)=1.$

Subfaktoriel

Subfaktoriel ! n er defineret som antallet af permutationer af orden n , det vil sige permutationer af et n - elementsæt uden fikspunkter .

Se også

Factorion

Noter

↑ Seks milliarder to hundrede syvogtyve millioner og tyve tusinde otte hundrede
↑ Syvogfirs milliarder et hundrede otteoghalvfjerds millioner to hundrede enoghalvfems tusinde to hundrede
↑ En trillion tre hundrede syv milliarder seks hundrede og fireoghalvfjerds millioner tre hundrede otteogtres tusinde
↑ Tyve trillioner ni hundrede 22 milliarder syv hundrede niogfirs millioner otte hundrede otteogfirs tusind
↑ Tre hundrede og femoghalvtreds billioner seks hundrede syvogfirs milliarder fire hundrede og otteogtyve millioner seksoghalvfems tusinde
↑ Seks quadrillioner fire hundrede to trillioner tre hundrede treoghalvfjerds milliarder syv hundrede fem millioner syv hundrede otteogtyve tusinde
↑ Et hundrede enogtyve kvadrillioner seks hundrede femogfyrre trillioner et hundrede milliarder fire hundrede otte millioner otte hundrede toogtredive tusinde
↑ To kvintillioner fire hundrede toogtredive kvadrillioner ni hundrede to trillioner otte milliarder et hundrede seksoghalvfjerds millioner seks hundrede fyrre tusinde
↑ Femten septillioner fem hundrede elleve seksbillioner to hundrede og ti kvintillioner treogfyrre kvadrillioner tre hundrede tredive trillioner ni hundrede og femogfirs milliarder ni hundrede fireogfirs millioner
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один sekstillion fem hundrede otteogtres kvintillioner ni hundrede og tres kvadrillioner fem hundrede tolv trillioner
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста otteoghalvtreds novemdecillion ni hundrede og otteogtredive octodecillion et hundrede og toogfyrre septdecillion fem hundrede og seksogfyrre cedecillion fire hundrede og tyve-fem quindecillion otte hundrede og syvoghalvtreds quattuordecillion fem hundrede og halvtreds-femtredivecillion -to dodecillion otte hundrede og fireogtres undebillion seks hundrede og otteogtyve decillion ni nonillion fem hundrede og firs-to octillioner syv hundrede og niogfirs septi million otte hundrede og femogfyrre sekstillioner tre hundrede nitten kvintillioner seks hundrede firs kvadrillioner
↑ Koefficienterne for denne udvidelse giver A001163 (tællere) og A001164 (nævnere)
↑ Crump, Christian . Hentet 19. september 2016. Arkiveret fra originalen 19. september 2016. (ubestemt)
↑ Pearson, Karl (1924), Historisk note om oprindelsen af den normale fejlkurve , Biometrika bind 16: 402-404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : “Stirling viste kun, at den aritmetiske konstant i De Moivres formel er . Jeg tror, at dette ikke gør ham til forfatteren af teoremet." ${\sqrt {2\pi ))$
↑ Donald Knuth . Kunsten at programmere, bind I. Grundlæggende algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 79-81. — 736 s.
↑ OEIS -sekvens A006882 _
↑ "Encyclopedia for Children" Avanta +. Matematik.
↑ wolframalpha.com Arkiveret 1. november 2013 på Wayback Machine .
↑ Sekvens A002110 i OEIS
↑ OEIS -sekvens A000178 _
↑ OEIS -sekvens A055462 _

Matematiske tegn

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstegn ( · eller × )
Divisionstegn ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rodtegn ( √ )
Faktoriel ( ! )
Integraltegn ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Lighedstegn ( = , ≈ , ≡ osv. )
Ulighedstegn ( ≠ , > , < osv. )
Proportionalitet ( ∝ )
Klameparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Lodret streg ( | )
Skråstreg, skråstreg ( / )
Omvendt skråstreg, omvendt skråstreg ( \ )
Uendelighedstegn ( ∞ )
Gradtegn ( ° )
Slagtilfælde ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Stjerne ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-minus ( ± )
Minus-plus tegn ( ∓ )
Decimalseparator ( , eller . )
Slut på bevistegn ( ∎ )