Absolut geometri
Absolut geometri (eller neutral geometri ) er en del af klassisk geometri, uafhængig af det femte postulat af euklidisk aksiomatik (det vil sige, i absolut geometri kan det femte postulat være opfyldt eller ikke). Absolut geometri indeholder påstande, der er fælles for den euklidiske geometri og for Lobachevskys geometri [1] [2] .
Udtrykket blev foreslået af Janos Bolyai i 1832 [3] . Det er rigtigt, at Bolyai selv lagde en lidt anden mening i det: han kaldte absolut geometri symbolikken specielt udviklet af ham, hvilket gjorde det muligt at forene sætningerne for både euklidisk geometri og Lobachevsky geometri [4] med én formel .
Eksempler på sætninger i absolut geometri
De første 28 sætninger i Euklids " principper " henviser til absolut geometri. Her er nogle flere eksempler på sådanne teoremer [5] :
- En ligebenet trekant har lige store grundvinkler.
- En ydre vinkel i en trekant er større end hver indre vinkel, der ikke støder op til den.
- Hver trekant har mindst to spidse vinkler.
- Når to linjer skærer hinanden , er de lodrette vinkler ens.
- Den største af trekantens to sider er modsat af den større vinkel, og omvendt er den større side modsat af den større side.
- Den vinkelrette (fra et punkt til en ret linje) er kortere end den skrå.
- Hver side af trekanten er mindre end summen og større end forskellen på de to andre sider.
- Summen af vinklerne i en trekant overstiger ikke 180°.
Sætninger, der ikke er inkluderet i absolut geometri
Den moderne aksiomatik af euklidisk geometri (såsom Hilberts aksiomatik ) er komplet , det vil sige, at enhver korrekt udsagn i denne teori kan bevises eller modbevises. Absolut geometri er ufuldstændig: da det femte postulat definerer de metriske egenskaber for et homogent rum , betyder dets fravær i absolut geometri, at rummetrikken ikke er defineret, og de fleste målingsrelaterede sætninger (såsom Pythagoras sætning eller trekantsummen af vinkler teorem ) kan ikke bevises i absolut geometri [6] .
Andre eksempler på sætninger, der ikke er inkluderet i absolut geometri:
Variationer og generaliseringer
I absolut geometri eksisterer der altid parallelle linjer (se sætning 27 og 28 i Euklids elementer , bevist uden at stole på det femte postulat), så sfærisk geometri , hvor der ikke er parallelle linjer, er uforenelig med absolut geometri. Det er dog muligt at konstruere en aksiomatik, der forener alle tre typer ikke -euklidiske geometrier (euklidisk, sfærisk og Lobachevsky geometri) [8] , og så kan den absolutte geometri defineres som deres fælles del. Denne nye definition er bredere end den gamle - for eksempel holder sætningen "summen af vinklerne i en trekant ikke over 180 °" op med at være sand.
Noter
- ↑ Absolut geometri // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 34.
- ↑ Higher geometri, 1971 , s. 88--89.
- ↑ Bolai J. Tillæg Arkivkopi dateret 21. april 2013 på Wayback Machine // On the Foundations of Geometry (artikelsamling), M., GITTL, 1956. Serie "Classics of Natural Science".
- ↑ Matematik i det 19. århundrede. Bind II: Geometri. Teori om analytiske funktioner / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M . : Nauka, 1981. - S. 64-65. - 270 sek.
- ↑ Higher geometri, 1971 , s. 14, 67 ff., 89.
- ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
- ↑ Se for eksempel: Gunter Ewald . Geometri: en introduktion. Wadsworth Publishing. 1. 1971, 399 sider. ISBN 0534000347 .
- ↑ Peil, Timothy. Hilberts aksiomer modificeret til plan elliptisk geometri . // Oversigt over geometri . Hentet 18. oktober 2016. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2016.
Litteratur
- Hilbert D. Fundamenter for geometri. - M. - L. : GITTL, 1948. - 492 s. - (Klassikere af naturvidenskab. Matematik, mekanik, fysik, astronomi).
- Efimov N. V. Højere geometri. - 7. udg. — M .: Fizmatlit, 1971.
- Genudgivelse: 2004, Fizmatlit forlag, ISBN 5-9221-0267-2 .
Links
- Absolut geometri . - på den føderale portal School-collection.edu.ru. Hentet: 9. november 2018.
 I bibliografiske kataloger |
|---|