Discountinum

Discontinuum er en nuldimensionel [1] perfekt kompakt .

Eksempler

Det første eksempel på et diskontinuum blev opdaget af Georg Cantor - Kantorsættet . Diskontinuumer med interessante egenskaber i tredimensionelt euklidisk rum blev bygget af Pavel Uryson og Louis Antoine . Således er Antoines halskæde et diskontinuum, som komplementet ikke blot er forbundet med .

Egenskaber

Alle discontinua er homøomorfe til Cantor-sættet.
Hvert metriserbart kompakt sæt er et kontinuerligt billede af et Cantor sæt.
Hvert perfekte kompakte sæt, der kan måles, indeholder et Cantor-sæt.
- Derfor er hvert kompakt sæt, der kan måles, enten tælleligt eller har kontinuumets kardinalitet .

Noter

↑ Et kompakt sæt er nuldimensionelt, hvis det for et hvilket som helst par af dets punkter kan repræsenteres som summen af to usammenhængende lukkede delmængder , for hvilke $K$ $a,b\in K$ $K_{1}\cup K_{2}$ ${\displaystyle a\in K_{1},b\in K_{2))$

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: GIITL, 1948.
Sobolev VI Forelæsninger om yderligere kapitler af matematisk analyse. — M .: Nauka, 1968.
Uryson PS Om Cantor-varieteter, del 1 // Proceedings on topology and other areas of Mathematics. - M. - L. : GITTL, 1954. - T. 1.