Matrix kvantemekanik

Matrix kvantemekanik ( matrixmekanik ) er en formulering af kvantemekanik skabt af Werner Heisenberg , Max Born og Pascual Jordan i 1925. Matrix kvantemekanik var den første konceptuelt autonome og logisk konsistente formulering af kvantemekanik. Hendes beskrivelse af kvantespring erstattede Bohr-modellen for elektronbaner . Dette blev gjort ved at fortolke partiklernes fysiske egenskaber som matricer , der udvikler sig over tid. Matrixmekanik svarer til Schrödinger-bølgeformuleringen af kvantemekanik [1] , som den fremgår af Diracs bra og ket-notation .

I modsætning til bølgeformuleringen opnås i matrixmekanik spektrene af operatorer (hovedsageligt energiske) ved rent algebraiske metoder af stigeoperatorer [2] . Baseret på disse metoder opnåede Wolfgang Pauli brintatomets spektrum i 1926 [3] før udviklingen af bølgemekanikken.

Udvikling af matrixmekanik

I 1925 formulerede Werner Heisenberg , Max Born og Pascual Jordan matrixkvantemekanik [4] .

Fremkomststadie i Helgoland

I 1925 arbejdede Werner Heisenberg i Göttingen på problemet med at beregne brints spektrallinjer . I maj 1925 forsøgte han kun at beskrive atomsystemer i form af observerbare . Den 7. juni, for at undgå virkningerne af en akut anfald af høfeber , rejste Heisenberg til den pollenfrie ø Helgoland i Nordsøen . Mens han var der, mellem at klatre og huske vers fra Goethes West-East Divan , fortsatte han med at spekulere i det spektrale problem og indså til sidst, at det at antage ikke- pendlende observerbare kunne løse problemet. Han skrev senere:

Klokken var omkring tre om morgenen, da det endelige resultat af beregningen dukkede op for mig. Først var jeg dybt chokeret. Jeg var så spændt, at jeg ikke kunne tænke på at sove. Så jeg forlod huset og ventede på solopgangen på toppen af klippen [5] .

Tre grundlæggende artikler

Efter at Heisenberg vendte tilbage til Göttingen, viste han Wolfgang Pauli sine beregninger og bemærkede én gang:

For mig er det stadig vagt og uklart, men det ser ud til, at elektronerne ikke længere vil kredse [6] .

Den 9. juli afleverede Heisenberg samme papir med sine beregninger til Max Born, hvori han oplyste, at "han skrev et skørt papir og ikke turde sende det til udgivelse, og at Born burde læse det og rådgive ham" inden udgivelsen. Heisenberg forlod derefter kort og efterlod Born for at analysere papiret [7] .

I papiret formulerede Heisenberg en kvanteteori uden klare elektronbaner. Hendrik Kramers havde tidligere beregnet de relative intensiteter af spektrallinjer i Sommerfeld-modellen og fortolket Fourier-koefficienterne for kredsløbene som intensiteter. Men hans svar, ligesom alle andre beregninger i den gamle kvanteteori , var kun sandt for store baner .

Heisenberg begyndte efter at have samarbejdet med Kramers [8] at indse, at overgangssandsynlighederne ikke er helt klassiske størrelser, da Fourier-serien kun skulle omfatte de frekvenser, der observeres i kvantespring, og ikke de fiktive, der kommer fra Fourier-analysen af eksakte. klassiske baner. Han erstattede den klassiske Fourier-serie med en koefficientmatrix, en fuzzy kvanteanalog af Fourier-serien. Klassisk giver Fourier-koefficienterne intensiteten af den udsendte stråling , så i kvantemekanikken var størrelsen af matrixelementerne i koordinatoperatøren intensiteten af strålingen i spektret af lyse linjer. Størrelserne i Heisenbergs formulering var de klassiske koordinater og momentum, men nu var de ikke længere veldefinerede. Hver værdi var repræsenteret af et sæt Fourier-koefficienter med to indekser svarende til start- og sluttilstanden [9] .

Da Born læste avisen, indså han, at formuleringen kunne dechifreres og udvides til det systematiske sprog af matricer [10] , som han havde studeret under Jacob Rosanes [11] ved universitetet i Breslau . Born begyndte med hjælp fra sin assistent og tidligere elev Pascual Jordan straks at analysere og udvide det, og de sendte deres resultater til offentliggørelse; papiret blev modtaget til udgivelse kun 60 dage efter Heisenbergs [12] papir .

Et opfølgningspapir blev indsendt til offentliggørelse inden årets udgang af alle tre forfattere [13] (En kort oversigt over Borns rolle i udviklingen af matrixmekanik, sammen med en diskussion af nøgleformlen, der involverer ikke-kommutativiteten af sandsynlighedsamplituder , kan findes i Jeremy Bernsteins papir [14] . En detaljeret historisk og teknisk rapport kan findes i Mehra og Rechenbergs Historical Development of Quantum Theory, bind 3. Formulering af matrixmekanik og dens modifikationer 1925-1926 [15] )

Tre grundlæggende artikler:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (modtaget 29. juli 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (engelsk titel: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
M. Born og P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (modtaget 27. september 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (engelsk titel: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg og P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (modtaget 16. november 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (engelsk titel: On Quantum Mechanics II ).]

Indtil da brugte fysikere sjældent matricer; de blev anset for at tilhøre den rene matematiks rige. Gustav Mie brugte dem i et papir om elektrodynamik i 1912, og Born brugte dem i sit arbejde med teorien om krystalgitter i 1921. Selvom matricer blev brugt i disse tilfælde, kom algebraen af matricer med deres multiplikation ikke ind i billedet, som i matrixformuleringen af kvantemekanikken [16] .

Born lærte dog matrixalgebra fra Rosanes, som nævnt, men Born lærte også Hilberts teori om integralligninger og andengradsformer for et uendeligt antal variable, som det kan ses af Borns citat fra Hilberts Grundzüge einer allgemeinen Theorie der. Linearen Integralgleichungen udgivet i 1912 [17] [18] .

Jordan var også godt forberedt til denne opgave. I en årrække var han Richard Courants assistent i Göttingen under udarbejdelsen af Courant og David Hilberts Methods of Mathematical Physics I, som blev udgivet i 1924 [19] . Denne bog indeholdt heldigvis mange matematiske værktøjer, der var nødvendige for videre udvikling kvantemekanik.

I 1926 blev John von Neumann David Hilberts assistent og opfandt udtrykket Hilbert-rum for at beskrive algebraen og analysen, der blev brugt i udviklingen af kvantemekanikken [20] [21] .

Et centralt bidrag til denne formulering blev givet af Dirac i 1925 i hans papir om nyfortolkning/syntese [22] , som opfandt det sprog og den struktur, der almindeligvis bruges i dag, hvilket fuldt ud demonstrerer den ikke-kommutative struktur af hele konstruktionen.

Heisenbergs ræsonnement

Før matrixmekanikkens fremkomst beskrev den gamle kvanteteori bevægelsen af en partikel langs en klassisk bane med en veldefineret position og momentum X ( t ), P ( t ) med den begrænsning, at integralet over tid over en periode T af momentum gange hastighed skal være et heltal et positivt multiplum af Plancks konstant

\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh

Selvom denne begrænsning korrekt udvælger baner med mere eller mindre korrekte energiværdier En , beskrev den gamle kvantemekaniske formalisme ikke tidsafhængige processer såsom emission eller absorption af stråling.

Når en klassisk partikel er svagt koblet til strålingsfeltet, så strålingsdæmpningen kan negligeres, vil den udstråle i et mønster, der gentager sig hver omdrejningsperiode . Frekvenserne, der udgør den udsendte bølge, er så multipla af orbitalfrekvensen, og dette er en afspejling af, at X ( t ) er periodisk, så dens Fourier-repræsentation kun har frekvenser på 2π n/T.

{\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n))

Koefficienterne for X n er komplekse tal . Dem med negative frekvenser skal være komplekse konjugater af mængder med positive frekvenser, så X ( t ) vil altid være reel,

X_{n}=X_{-n}^{*}

På den anden side kan en kvantemekanisk partikel ikke kontinuerligt udstråle, den kan kun udsende fotoner. Forudsat at kvantepartiklen startede i kredsløb nummer n , udsendte en foton og derefter endte i kredsløb nummer m , finder vi at fotonenergien er lig med energiniveauforskellen E n − E m , hvilket betyder at dens frekvens er lig med til ( E n − E m ) / h .

For store tal n og m , men for relativt små n − m , er der tale om klassiske frekvenser ifølge Bohr - korrespondanceprincippet

E_{n}-E_{m}\approx h(nm)/T

I formlen ovenfor er T den klassiske periode for enten n eller m , da forskellen mellem dem er af højere orden i h . Men for små n og m , eller for store n − m , er frekvenserne ikke heltallige multipla af en enkelt frekvens.

Da frekvenserne udsendt af partiklen er de samme som frekvenserne i Fourierbeskrivelsen af dens bevægelse, ændres noget i den tidsafhængige beskrivelse af partiklen med frekvensen ( E n − E m )/ h . Heisenberg kaldte denne størrelse X nm og krævede, at den blev reduceret til de klassiske Fourier-koefficienter i den klassiske grænse. For store værdier af n , m , men med relativt lille n − m , er X nm ( n − m ) -th Fourier-koefficient for den klassiske bevægelse i kredsløb n . Da X nm har en frekvens modsat X mn , har betingelsen for at X er reel formen

X_{nm}=X_{mn}^{*}

Per definition har X nm kun frekvens ( En − E m )/ h , så dens tidsudvikling er enkel :

X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)

Dette er den oprindelige form for Heisenbergs bevægelsesligning.

Givet to matricer X nm og P nm , der beskriver to fysiske størrelser, kunne Heisenberg danne en ny matrix af samme type ved at kombinere termerne X nk P km , som også oscillerer med den ønskede frekvens. Da Fourier-koefficienterne for produktet af to størrelser er foldninger af Fourier-koefficienterne for hver af dem separat, gjorde korrespondancen til Fourier-serien det muligt for Heisenberg at udlede en regel, hvorved produktet af matricer skulle beregnes

{\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn))

Born påpegede, at dette er loven om matrixmultiplikation , således at position, momentum, energi, alle observerbare størrelser i teorien fortolkes som matricer. Ifølge denne regel afhænger produktet af rækkefølgen af matricerne: XP er forskellig fra PX .

X-matricen er en komplet beskrivelse af bevægelsen af en kvantemekanisk partikel. Da frekvenserne i kvantebevægelse ikke er multipla af den fælles frekvens, kan matrixelementerne ikke fortolkes som Fourier-koefficienterne for en nøjagtig klassisk bane . Imidlertid opfylder både matricerne X ( t ) og P ( t ) de klassiske bevægelsesligninger; se også Ehrenfests sætning nedenfor.

Grundlæggende egenskaber for matricer

Da Werner Heisenberg, Max Born og Pascual Jordan introducerede matrixmekanik i 1925, blev det ikke umiddelbart accepteret og var oprindeligt kontroversielt. Schrödingers senere beskrivelse af bølgemekanik fik mere støtte.

En del af årsagen var, at Heisenbergs formulering var i et mærkeligt matematisk sprog for tiden, mens Schrödingers var baseret på velkendte bølgeligninger. Men der var også en dybere sociologisk grund. Kvantemekanikken udviklede sig på to måder: Den ene blev ledet af Einstein, som understregede den bølge-partikel-dualitet, han foreslog for fotoner, og den anden blev ledet af Bohr, som lagde vægt på de diskrete energitilstande og kvantespring opdaget af Bohr. De Broglie reproducerede diskrete energitilstande inden for Einsteins teori – en kvantetilstand er en tilstand af en stående bølge, og dette gav tilhængere af Einstein-skolen håbet om, at alle diskrete aspekter af kvantemekanikken ville indgå i den kontinuerlige bølgemekanik.

På den anden side opstod matrixmekanikken fra Bohr-skolen af diskrete energitilstande og kvantespring. Bohrs tilhængere satte ikke pris på de fysiske modeller, der afbildede elektroner som bølger eller noget som helst. De foretrak at fokusere på mængder direkte relateret til eksperimenter.

I atomfysik har spektroskopi givet observationsdata om atomovergange, der opstår, når atomer interagerer med lyskvanter . Bohrs tilhængere krævede, at kun de mængder optræder i teorien, som i princippet kunne måles i spektroskopi. Disse mængder inkluderer energiniveauer og intensiteter af spektrallinjerne, men inkluderer ikke partiklens præcise position i dens Bohr-bane. Det er meget vanskeligt at forestille sig et eksperiment, der kunne afgøre, om en elektron i et brintatoms grundtilstand er til højre eller til venstre for kernen. Der var en dyb overbevisning om, at der ikke var svar på sådanne spørgsmål.

Matrixformuleringen blev bygget på den forudsætning, at alle fysiske observerbare er repræsenteret af matricer, hvis elementer er indekseret af to forskellige energiniveauer. I sidste ende blev sættet af egenværdier af en matrix forstået som sættet af alle mulige værdier, som en observerbar kunne have. Da Heisenberg-matricerne er hermitiske , er egenværdierne reelle.

Når man måler det observerbare, er resultatet en vis egenværdi svarende til egenvektoren , der repræsenterer systemets tilstand umiddelbart efter målingen. Målehandlingen i matrixmekanik "kollapser" systemets tilstand. Hvis to observerbare måles samtidigt, kollapser systemets tilstand til en fælles egenvektor for de to observerbare. Fordi de fleste matricer ikke har fælles egenvektorer, kan de fleste observerbare aldrig måles nøjagtigt på samme tid. Dette er usikkerhedsprincippet .

Hvis to matricer har fælles egenvektorer, kan de diagonaliseres samtidigt. I et grundlag, hvor de begge er diagonale, afhænger deres produkt ikke af deres rækkefølge, fordi multiplikationen af diagonale matricer simpelthen er multiplikationen af tal. Usikkerhedsprincippet er derimod et udtryk for, at to matricer A og B ofte ikke altid pendler, altså at AB − BA ikke nødvendigvis er lig med 0. Matrixmekanikkens grundlæggende kommuteringsrelation,

{\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih \over 2\pi }~\delta _{nm))

betyder, at der ikke er nogen tilstande, der samtidig har en bestemt position og momentum .

Dette usikkerhedsprincip gælder også for mange andre observerbare par. For eksempel pendler energien heller ikke med koordinaten, så det er umuligt nøjagtigt at bestemme positionen og energien af en elektron i et atom.

Nobelprisen

I 1928 nominerede Albert Einstein Heisenberg, Born og Jordan til Nobelprisen i fysik [23] . Offentliggørelsen af Nobelprisen i fysik for 1932 blev forsinket til november 1933 [24] . Det var dengang, at Heisenberg blev annonceret for at have modtaget 1932-prisen "for skabelsen af kvantemekanik, hvis anvendelse førte blandt andet til opdagelsen af de allotrope former for brint" [25] , og Erwin Schrödinger og Paul Adrien Maurice Dirac delte prisen i 1933 "for opdagelse af nye produktive former for atomteori" [25] .

Man kan undre sig over, hvorfor Born ikke blev tildelt prisen i 1932 sammen med Heisenberg, og Bernstein spekulerer herom. En af dem handler om, at Jordan meldte sig ind i Nazipartiet den 1. maj 1933 og blev stormtropper [26] . Jordans partitilhørsforhold og Jordans bånd til Bourne kan meget vel have påvirket Bournes chancer for at vinde prisen på det tidspunkt. Bernstein bemærker endvidere, at da Born endelig modtog prisen i 1954, var Jordan stadig i live, og prisen blev tildelt for en statistisk fortolkning af kvantemekanik kun tilskrevet Born [27] .

Heisenbergs meddelelse til Born af Heisenbergs 1932-pris, og at Born modtog prisen i 1954, er også lærerig i vurderingen af, om Born skal dele prisen med Heisenberg. Den 25. november 1933 modtog Born et brev fra Heisenberg, hvori han sagde, at han var forsinket med brevet på grund af "dårlig samvittighed", at han alene modtog prisen "for arbejdet udført i Göttingen i samarbejde - dig, Jordan og JEG." Heisenberg fortsatte med at sige, at Born og Jordans bidrag til kvantemekanikken ikke kan ændres ved "forkert beslutning udefra" [28] .

I 1954 skrev Heisenberg en artikel dedikeret til Max Planck om hans indsigt i 1900. I papiret gav Heisenberg æren til Born og Jordan for den endelige matematiske formulering af matrixmekanik, og så understregede Heisenberg, hvor stort deres bidrag til kvantemekanikken var, som "ikke har modtaget behørig anerkendelse i offentlighedens øjne" [29] .

Matematisk udvikling

Da Heisenberg introducerede matricerne for X og P , var han i stand til at finde deres matrixelementer i særlige tilfælde ved gætværk, styret af korrespondanceprincippet . Fordi matrixelementer er de kvantemekaniske modstykker til Fourier-koefficienterne for klassiske baner, er det enkleste tilfælde den harmoniske oscillator , hvor den klassiske koordinat og momentum X ( t ) og P ( t ) er sinusformede.

Harmonisk oscillator

I enheder, hvor massen og frekvensen af oscillatoren er lig med én (se ikke-dimensionalisering ), er oscillatorens energi [30]

H={1 \over 2}(P^{2}+X^{2})~.

Niveausættet H er banerne med uret, og de er indlejrede cirkler i faserummet. Den klassiske bane med energi E er

X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.

Den gamle kvanteteori dikterer, at integralet af PdX over kredsløbet, som er arealet af en cirkel i faserummet, skal være et heltal af Plancks konstant . Arealet af en cirkel med radius √ 2 E er 2 πE . Så energi

E={nh \over 2\pi }~,

givet i naturlige enheder , hvor ħ = 1 er et heltal.

Fourierkomponenterne af X ( t ) og P ( t ) forenkles, endnu mere, hvis de kombineres til mængder

A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dolk }(t)=X(t) -iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}

Begge størrelser A og A † har kun én frekvens, og X og P kan rekonstrueres ud fra deres sum og forskel.

Da A ( t ) kun har den laveste frekvens klassiske Fourier-serie, og matrixelementet A mn er ( m − n ) 'te Fourier-koefficient for den klassiske bane, er matricen for A kun nul ved positioner over diagonalen, hvor den tager værdierne √2 E n . Matrixen for A † er også kun nul ved positioner under diagonalen med de samme indgange.

Fra A og A † kan man således skrive udtryk for koordinaten

{\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3} }&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

og momentum

{\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0& \cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\ 0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

som op til en faktor er Heisenberg-matricerne for den harmoniske oscillator. Begge matricer er hermitiske , da de er bygget ud fra Fourier-koefficienterne for reelle værdier.

Søgningen efter tidsafhængigheden af X ( t ) og P ( t ) er forenklet, fordi de er kvante-fourier-koefficienter, så deres udvikling over tid er beskrevet af udtrykkene

X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn} (0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.

Produktet af matricerne X og P er ikke en hermitisk matrix, men har reelle og imaginære dele. Den reelle del er halvdelen af det symmetriske udtryk XP + PX , og den imaginære del er proportional med kommutatoren

[X,P]=(XP-PX)

Det kan verificeres ved direkte substitution, at XP − PX i tilfælde af en harmonisk oscillator er lig iħ ganget med en .

På samme måde er det nemt at kontrollere, at matrixen

H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})

diagonal med egenværdier E i .

Bevarelse af energi

Kvantebeskrivelsen af en harmonisk oscillator er et vigtigt praktisk eksempel. Det er lettere at finde matricer end at fastlægge de generelle betingelser for disse særlige former. Af denne grund undersøgte Heisenberg den anharmoniske oscillator med Hamiltonian

H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\epsilon X^{3}~.

I et sådant tilfælde er X og P ikke længere simple off-diagonale matricer, da de tilsvarende klassiske baner er let komprimeret og forskudt, så de har Fourier-koefficienter ved hver klassisk frekvens. For at definere matrixelementerne krævede Heisenberg, at de klassiske bevægelsesligninger adlyde matrixligningerne:

{dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\epsilon X^{2}~.

Han bemærkede, at hvis dette kunne lade sig gøre, så ville H , betragtet som en matrixfunktion af X og P , have en tidsafledt nul.

{dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\epsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,

hvor A∗B er antikommutatoren ,

A*B={1 \over 2}(AB+BA)~

I betragtning af at alle off-diagonale elementer har en ikke-nul frekvens; konstanten H betyder, at H er diagonal. Heisenberg indså, at i dette system kunne energi nøjagtigt bevares i et vilkårligt kvantesystem, hvilket var et meget opmuntrende tegn.

Processen med emission og absorption af fotoner syntes at kræve, at loven om bevarelse af energi i bedste fald virkede i gennemsnit. Hvis en bølge, der indeholder præcis én foton, passerer gennem flere atomer, og et af dem absorberer det, så skal det atom fortælle de andre, at de ikke længere kan absorbere fotonen. Men hvis atomerne er langt fra hinanden, kan ethvert signal ikke nå andre atomer i tide, og de kan alligevel absorbere den samme foton og sprede energi ud i miljøet. Når signalet når dem, bliver de andre atomer nødt til at returnere den energi på en eller anden måde . Dette paradoks fik Bohr, Kramers og Slater til at opgive den nøjagtige energibevarelse. Heisenbergs formalisme, udvidet til det elektromagnetiske felt, havde klart til hensigt at omgå dette problem ved at antyde, at fortolkningen af teorien ville omfatte kollaps af bølgefunktioner .

Differentieringstrick - kanoniske kommuteringsrelationer

Kravet om at bevare de klassiske bevægelsesligninger er ikke en stærk nok betingelse for definitionen af matrixelementer. Da Plancks konstant ikke optræder i de klassiske ligninger, kan matricer konstrueres for mange forskellige værdier af ħ og stadig opfylde bevægelsesligningerne, men med forskellige energiniveauer.

Så for at implementere sit program måtte Heisenberg bruge den gamle kvantebetingelse til at fiksere energiniveauerne, derefter udfylde matricerne med Fourier-koefficienterne for de klassiske ligninger og derefter ændre matrixkoefficienterne og energiniveauerne en smule for at sikre, at de klassiske ligninger holde. Denne tilgang passer ikke, da de gamle kvanteforhold refererer til en region begrænset af nøjagtige klassiske baner, som ikke er i den nye formalisme.

Vigtigst af alt opdagede Heisenberg en måde at oversætte den gamle kvantetilstand til en simpel erklæring om matrixmekanik.

For at gøre dette studerede han handlingsintegralet som en matrixmængde,

\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\ ca. }}\,\,J_{mn}~.

Der er flere problemer med dette integral, som alle stammer fra matrixformalismens uforenelighed med det gamle billede af baner. Hvilken periode T skal bruges? Semiklassisk burde dette være enten m eller n , men forskellen matcher i rækkefølgen ħ , og svaret søges i samme rækkefølge af præcision i ħ . Kvantebetingelsen fortæller os, at J mn er 2π n diagonalt, så det faktum, at J er klassisk konstant, fortæller os, at de off-diagonale elementer er nul.

Hans afgørende opdagelse var at differentiere kvantetilstanden med hensyn til n . Denne idé giver kun fuld mening i den klassiske grænse, hvor n ikke er et heltal, men en kontinuerlig handlingsvariabel J , men Heisenberg lavede lignende manipulationer med matricer, hvor mellemudtryk nogle gange er diskrete forskelle og nogle gange afledede.

I det følgende vil der for klarhedens skyld blive foretaget differentiering med hensyn til klassiske variable, og overgangen til matrixmekanik vil blive udført efter den, styret af korrespondanceprincippet.

I den klassiske indstilling er den afledede den samlede afledte i forhold til J af integralet, der definerer J , så det er nøjagtigt 1.

{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1

=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)=\int _{0}^{T}dt\venstre({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\,

hvor derivaterne dP/dJ og dX/dJ skal fortolkes som forskelle i J på de tilsvarende tidspunkter i tætte baner, hvilket kan opnås ved at differentiere Fourier-koefficienterne for orbitalbevægelsen. (Disse derivater er symplektisk ortogonale i faserum til tidsderivaterne dP/dt og dX/dt ).

Det endelige udtryk forfines ved at introducere en variabel kanonisk konjugeret til J , kaldet vinkelvariablen θ : Tidsderivatet er den afledte med hensyn til θ op til en faktor på 2π T ,

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.

Kvanteintegralet af tilstanden er således middelværdien over en cyklus af Poisson-beslaget X og P.

En lignende differentiering af Fourier-serien af funktionen PdX viser, at alle off-diagonale elementer i Poisson-beslaget er lig med nul. Poisson-parentesen af to kanonisk konjugerede variable såsom X og P har en konstant værdi på 1, så dette integral er faktisk middelværdien af 1; så det er 1, som vi har vidst hele tiden, for det er jo dJ/dJ. Men Heisenberg, Born og Jordan var, i modsætning til Dirac, ikke bekendt med teorien om Poisson-parenteser, så for dem evaluerede differentiering effektivt { X, P } i koordinaterne J, θ.

Poisson-beslaget har, i modsætning til handlingsintegralet, en nem måde at oversætte til matrixmekanik - det svarer normalt til den imaginære del af produktet af to variable, kommutatoren .

For at se dette skal man undersøge det (antisymmetriserede) produkt af to matricer A og B i matchningsgrænsen, hvor matrixelementerne er langsomt varierende funktioner af indekset, idet man husker på, at i det klassiske tilfælde er svaret nul.

I korrespondancegrænsen, når indeksene m , n er store og tætte, og k , r er små, er ændringshastigheden af matrixelementer i diagonalretningen matrixelementet af J - afledte af den tilsvarende klassiske størrelse. Det er således muligt at forskyde et hvilket som helst element i matrixen diagonalt ved hjælp af korrespondancen,

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}\,

hvor højre side faktisk kun er ( m - n )th Fourier-komponent af dA/dJ på en bane nær m op til denne semiklassiske orden, og ikke en komplet veldefineret matrix.

Den semiklassiske tidsafledte af matrixelementet opnås op til en faktor i ved at gange med afstanden fra diagonalen,

ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\venstre({dA \ over d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.

da koefficienten A m(m+k) semiklassisk er den k'te Fourier-koefficient for den m -te klassiske bane.

Den imaginære del af produktet af A og B kan estimeres ved at forskyde matrixelementerne på en sådan måde, at man gengiver det klassiske svar, som er nul.

Så er den førende rest, der ikke er nul, fuldstændig bestemt af skiftet. Da alle matrixelementer er ved indekser, der er en kort afstand fra positionen af det store indeks ( m, m ), er det nyttigt at introducere to midlertidige notationer: A [ r, k ] = A (m+r)(m+ k) for matricer og ( dA/dJ )[ r ] for de rth Fourier-komponenter af klassiske størrelser,

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k ]B[0,r]\right)

=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(rk){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0 ,kr]+r{dB \over dJ}[rk]\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.

Ved at ændre summeringsvariablen i den første sum fra r til r' = k - r , bliver matrixelementet,

\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[kr']\;)\left(\;B[0,r']+( kr'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,

og dette viser, at hoveddelen (klassisk) er reduceret.

Den højeste kvantedel, hvis vi negligerer produktet af højere ordens derivater i resten, så

\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](kr')A[r',k]-{dA \over dJ}[kr']r'B [0,r']\right)

så til sidst

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta [kr']- {dA \over dJ}[kr']i{dB \over d\theta }[r']\right)\,

som kan identificeres med i ganget med den k'te klassiske Fourier-komponent i Poisson-parentesen.

Heisenbergs originale trick med differentiering blev til sidst udvidet til en fuld semiklassisk afledning af kvantetilstanden i samarbejde med Born og Jordan. En gang lykkedes det dem at fastslå det

{\frac {ih}{2\pi }}\{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX ={\frac {ih}{2\pi }}\,

denne betingelse erstattede og udvidede den gamle kvantiseringsregel, hvilket tillod matrixelementerne P og X at blive bestemt for et vilkårligt system blot ved form af Hamiltonian.

Den nye kvantiseringsregel blev antaget for at være universelt sand , selvom afledningen fra den gamle kvanteteori krævede semiklassisk ræsonnement. (Men en fuld kvantebehandling af mere komplekse parentesargumenter blev værdsat i 1940'erne som en udvidelse af Poisson parentes til Moyale parentes .)

Tilstandsvektorer og Heisenberg-ligningen

For at foretage overgangen til standard kvantemekanik var den vigtigste yderligere tilføjelse kvantetilstandsvektoren , nu betegnet med | ψ ⟩ er en vektor, der påvirkes af matricer. Uden en tilstandsvektor er det ikke klart, præcis hvilken bevægelse Heisenberg-matricerne beskriver, da de inkluderer alle bevægelser et eller andet sted.

Fortolkningen af tilstandsvektoren, hvis komponenter er skrevet som ψ m , blev givet af Born. Denne fortolkning er statistisk: Resultatet af måling af den fysiske størrelse svarende til matrix A er en stokastisk variabel med en gennemsnitsværdi lig med

\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}~.

Alternativt og ækvivalent giver tilstandsvektoren sandsynlighedsamplituden ψ n for, at et kvantesystem er i en energitilstand n .

Når først tilstandsvektoren blev introduceret, kunne matrixmekanikken roteres til et hvilket som helst grundlag, hvor H- matrixen ikke længere behøvede at være diagonal. Heisenbergs bevægelsesligning i sin oprindelige form siger, at A mn udvikler sig med tiden ligesom Fourier-komponenten,

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,

som kan konverteres til differentialform

{dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,

og dette kan omformuleres til at være sandt på et vilkårligt grundlag ved at bemærke, at H er diagonal med diagonale værdier af E m ,

{dA \over dt}=i(HA-AH)~.

Nu er dette en matrixligning, der holder på ethvert grundlag. Dette er den moderne form for Heisenbergs bevægelsesligning.

Dens formelle løsning er:

\,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.

Alle disse former for bevægelsesligningen ovenfor siger det samme, at A ( t ) er ækvivalent med A (0) via en basisrotation af en enhedsmatrice e iHt , et systematisk billede belyst af Dirac i hans Bra og ket-notation .

Omvendt kan man ved at rotere basisen af tilstandsvektoren til hvert tidspunkt af tiden med e iHt eliminere afhængigheden af matricerne på tid. Matricerne er nu uafhængige af tid, men tilstandsvektoren roterer,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH| \psi \rangle~.

Dette er Schrödinger-ligningen for tilstandsvektoren, og denne tidsafhængige ændring af basis svarer til en transformation til Schrödinger-repræsentationen med 〈x | ψ ⟩ = ψ(x) .

I kvantemekanikken, i Heisenberg-repræsentationen, er tilstandsvektoren | ψ ⟩ ændrer sig ikke med tiden, og det observerbare A opfylder Heisenbergs bevægelsesligning ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar [H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

En ekstra betegnelse for operatører som f.eks

A=(X+t^{2}P)

som har en eksplicit tidsmæssig afhængighed , foruden en tidsmæssig afhængighed af enhedsudvikling.

Heisenberg - repræsentationen skelner ikke tid fra rum, så den er bedre egnet til relativistiske teorier end Schrödinger-ligningen. Desuden er ligheden med klassisk fysik mere indlysende: Hamiltonianske bevægelsesligninger for klassisk mekanik genoprettes ved at erstatte kommutatoren ovenfor med en Poisson-beslag (se også nedenfor). Ved Stone-von Neumann-sætningen skal Heisenberg-repræsentationen og Schrödinger-repræsentationen være ensartet ækvivalent, som beskrevet nedenfor.

Yderligere resultater

Matrixmekanik udviklede sig hurtigt til moderne kvantemekanik og gav indledende fysiske resultater på atomernes spektre.

Bølgemekanik

Jordan bemærkede, at kommuteringsrelationerne sikrer, at P fungerer som en differentialoperatør .

Forhold for operatører

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]\,

gør det muligt at beregne kommutatoren P med en hvilken som helst potens af X , og det betyder det

[P,X^{n}]=-i~X^{n-1}\,

hvilket sammen med linearitet betyder, at P - kommutatoren effektivt differentierer enhver analytisk matrixfunktion X.

Forudsat at grænserne er rimeligt definerede, strækker dette sig til vilkårlige funktioner - men udvidelsen behøver ikke at gøres eksplicit, medmindre en vis grad af matematisk stringens er påkrævet.

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Da X er en hermitisk matrix, skal den være diagonaliserbar, og det vil fremgå af den endelige form af P , at hvert reelt tal kan være en egenværdi. Dette komplicerer matematikken, fordi der er en separat egenvektor for hvert punkt i rummet.

I en basis, hvor X er diagonal, kan en vilkårlig tilstand skrives som en superposition af tilstande med egenværdier x eller

|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,

så ψ (x) = ⟨x | ψ ⟩ og operatoren X multiplicerer hver egenvektor med x ,

X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.

Vi definerer en lineær operator D , der differentierer ψ ,

D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,

og bemærk det

(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\ rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,

således at operatoren − iD adlyder den samme kommuteringsrelation som P . Forskellen mellem P og − iD skal altså pendle med X ,

[P+iD,X]=0\,

så den kan diagonaliseres samtidigt med X : dens værdi, der virker på en hvilken som helst egentilstand af X , er en funktion f af egenværdien af x .

Denne funktion skal være reel, da både P og − iD er hermitiske,

(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,

rotation af hver tilstand med f ( x ) , dvs. redefinering af bølgefunktionens fase: $|x\rangle$

\psi (x)\højrepil e^{-if(x)}\psi (x)\,

iD- sætningen ændres af:

iD\rightarrow iD+f(X)\,

hvilket betyder at i den roterede basis er P lig med − iD .

Derfor er der altid et grundlag for egenværdierne af X , hvor virkningen af P på enhver bølgefunktion er kendt:

P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,

og Hamiltonianeren på dette grundlag er en lineær differentialoperator, der virker på komponenterne i tilstandsvektoren,

\left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\venstre[ -{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle

Således er bevægelsesligningen for tilstandsvektoren intet andet end den velkendte differentialligning

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\venstre[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2)) +V(x)\højre]\psi _{t}(x)\,.$

Da D er en differentialoperator, for at den kan defineres rimeligt, skal der være egenværdier X, der er givet i nærheden af hver given værdi. Dette antager, at den eneste mulighed er, at rummet af alle egenværdier af X består af alle reelle tal, og at P er iD op til en fasevending .

For at gøre denne udledning streng kræver det en rimelig diskussion af funktioners grænserum, og i dette rum er der Stone-von Neumann-sætningen : alle operatorer X og P , der adlyder kommuteringsrelationerne, kan virke på rummet af bølgefunktioner, med P være differentieringsoperatør. Det betyder, at Schrödinger-repræsentationen altid er tilgængelig.

Matrixmekanik udvides naturligvis nemt til flere frihedsgrader. Hver frihedsgrad har en separat operator X og en separat effektiv differentialoperator P , og bølgefunktionen er en funktion af alle mulige egenværdier af de uafhængige pendlingsvariable X.

[X_{i},X_{j}]=0\,

[P_{i},P_{j}]=0\,

[X_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}\,.

Dette betyder især, at et system af N interagerende partikler i 3 dimensioner er beskrevet af en enkelt vektor, hvis komponenter i en basis, hvor alle X'er er diagonale, er en funktion i 3 N -dimensionelt rum , der beskriver alle deres mulige positioner , faktisk meget større sæt værdier end blot et sæt af N 3D-bølgefunktioner i ét fysisk rum. Schrödinger nåede uafhængigt til den samme konklusion og beviste til sidst ækvivalensen af hans egen formalisme med Heisenbergs.

Da bølgefunktionen er en egenskab ved hele systemet, og ikke af nogen del af det, er beskrivelsen i kvantemekanikken ikke helt lokal. I beskrivelsen af flere kvantepartikler er de korrelerede eller sammenfiltrede . Denne sammenfiltring fører til vigtige korrelationer mellem fjerne partikler, der krænker den klassiske Bells ulighed .

Selvom partikler kun kan være i to koordinater, kræves 2N komplekse tal for at definere bølgefunktionen for N partikler , en for hver fælles koordinatkonfiguration. Dette er et eksponentielt stort tal, så simulering af kvantemekanik på en computer kræver eksponentielle ressourcer. Omvendt tyder dette på, at det er muligt at finde N -størrelse kvantesystemer, der fysisk beregner svar på problemer, som normalt ville kræve 2N bits af en klassisk computer at løse. Denne observation er kernen i kvanteberegning .

Ehrenfests sætning

For tidsuafhængige operatorer X og P ∂ A /∂ t = 0 , reduceres ovenstående Heisenberg-ligning til [31] :

i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA

hvor firkantede parenteser [*, *] angiver kommutatoren. For Hamiltonian opfylder operatorerne X og P ligningerne: $p^{2}/2m+V(x)$

{dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V

hvor den første er klassisk hastighed , og den anden er klassisk kraft eller potentiel gradient . De gengiver den Hamiltonske form af Newtons bevægelseslove . I Heisenberg-billedet opfylder operatorerne X og P de klassiske bevægelsesligninger. Du kan tage den forventede værdi af begge sider af ligningen for at se, hvad der er i enhver tilstand | ψ⟩ :

{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m} }\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.

Således adlyder de forventede værdier for operatører i en given stat nøjagtigt Newtons love. Dette er Ehrenfests sætning , som er en åbenlys konsekvens af Heisenbergs bevægelsesligninger, men er mindre triviel i Schrödinger-maleriet, hvor Ehrenfest opdagede det.

Transformationsteori

I klassisk mekanik er den kanoniske transformation af faserumskoordinater en transformation, der bevarer strukturen af Poisson-parenteser. De nye variable x', p' er forbundet med hinanden med de samme Poisson-parenteser som de oprindelige variable x, p . Tidsudvikling er en kanonisk transformation, da faserum til enhver tid er lige så godt et valg af variable som faserum på ethvert andet tidspunkt.

Hamilton-strømmen er en kanonisk transformation af formen:

x\rightarrow x+dx=x+{\partial H \over \partial p}dt

p\rightarrow p+dp=p-{\partial H \over \partial x}dt~.

Da Hamiltonianeren er en vilkårlig funktion af x og p , er der sådanne uendeligt små kanoniske transformationer svarende til hver klassisk størrelse G , hvor G tjener som Hamiltonianeren til at skabe en strøm af punkter i faserummet i et tidstrin s ,

dx={\partial G \over \partial p}ds=\{G,X\}ds\,

dp=-{\partial G \over \partial x}ds=\{G,P\}ds\,.

For den generelle form af funktionen A ( x , p ) i faserummet er dens infinitesimale ændring ved hvert trin ds under denne afbildning

dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.

Størrelsen G kaldes den infinitesimale generator af den kanoniske transformation.

I kvantemekanikken er der en analog til G , som er en hermitisk matrix, og bevægelsesligningerne er givet af kommutatorer,

dA=i[G,A]ds\,.

Uendeligt små kanoniske bevægelser kan formelt integreres på samme måde som Heisenbergs bevægelsesligninger blev integreret:

A'=U^{\dolk }AU\,

hvor U = e iGs s er en vilkårlig parameter.

Således er definitionen af en kvantekanonisk transformation en vilkårlig enhedsændring af grundlaget i rummet af alle tilstandsvektorer. U er en vilkårlig enhedsmatrix, der definerer en kompleks rotation i faserummet,

U^{\dolk }=U^{-1}\,.

Disse transformationer efterlader summen af kvadraterne af de absolutte værdier af komponenterne i bølgefunktionen invariant, mens de konverterer tilstande, der er multipla af hinanden (inklusive tilstande, der multipliceres med imaginære tal) til tilstande med samme multiplicitet.

Fortolkningen af matricerne er, at de fungerer som bevægelsesgeneratorer i tilstandsrummet .

For eksempel kan den bevægelse, P skaber , findes ved at løse Heisenbergs bevægelsesligning ved at bruge P som Hamiltonian,

dX=i[X,P]ds=ds\,

dP=i[P,P]ds=0\,.

Disse er oversættelser af matrixen X til et multiplum af identitetsmatrixen,

X\rightarrow X+sI~.

Dette er fortolkningen af den afledede operator D : e iPs = e D , den eksponentielle afledte operator er et skift ( Lagrange skiftoperatoren ) .

X- operatøren genererer også oversættelser til P . Hamiltonianeren genererer translationer i tid , vinkelmomentum genererer rotationer i det fysiske rum , og operatoren X 2 + P 2 genererer rotationer i faserummet .

Når en transformation, som en rotation i det fysiske rum, pendler med en Hamiltonian, kaldes denne transformation en Hamiltonian symmetri - Hamiltonianen givet i roterede koordinater er den samme som den oprindelige Hamiltonian. Dette betyder, at ændringen i Hamilton under påvirkning af generatoren af infinitesimal symmetri L forsvinder,

{dH \over ds}=i[L,H]=0\,.

Det følger heraf, at ændringen i generatoren under tidsoversættelse også forsvinder,

{dL \over dt}=i[H,L]=0\,

så matricen L er konstant i tid - det vil sige, den er bevaret.

En-til-en-korrespondancen mellem generatorer af infinitesimal symmetri og bevarelseslove blev opdaget af Emmy Noether for klassisk mekanik, hvor Poisson-parenteser er kommutatorerne , men den kvantemekaniske begrundelse er identisk. I kvantemekanikken fører enhver transformation af enhedssymmetri til en bevarelseslov, for hvis matricen U har den egenskab, at

U^{-1}HU=H\,

deraf følger det

UH=HU

og dermed er den tidsafledede af U nul - den er bevaret.

Egenværdierne af enhedsmatricer er rene faser, således at værdien af en enhedskonserveret størrelse er et komplekst tal af enhedsstørrelse, ikke et reelt tal. En anden måde at sige det på er, at enhedsmatrixen er eksponenten for i gange den hermitiske matrix, således at den additivt bevarede reelle størrelse, fasen, kun er nøjagtigt defineret op til et heltalsmultiplum af 2π . Først når den enhedssymmetrimatrix er en del af en familie, vilkårligt tæt på identiteten, bliver de bevarede reelle mængder enkeltværdiet, og så bliver kravet om deres bevarelse en meget stærkere begrænsning.

Symmetrier, der kontinuerligt kan relateres til identitetsmatrixen, kaldes kontinuerlige , og translationer, rotationer og boosts er eksempler på sådanne symmetrier. Symmetrier, der ikke kontinuerligt kan relateres til identitetsmatrixen, er diskrete , og eksempler er den rumlige inversion eller paritetsoperation og ladningskonjugation .

Fortolkningen af matricer som generatorer af kanoniske transformationer tilhører Paul Dirac [32] . Eugene Wigner viste, at korrespondancen mellem symmetrier og matricer er fuldstændig, hvis man inkluderer antiunitære matricer, der beskriver symmetrier, der involverer tidsvending.

Udvælgelsesregler

Det var klart for Heisenberg fra fysiske overvejelser, at kvadraterne af de absolutte værdier af matrixelementerne X , som er Fourier-koefficienterne for svingningerne, ville give emissionshastigheden for elektromagnetisk stråling.

I den klassiske store kredsløbsgrænse, hvis en ladning med koordinat X ( t ) og ladning q svinger nær en lige og modsat ladning ved origo, er det øjeblikkelige dipolmoment qX ( t ) , og ændringen i dette tidspunkt oversættes direkte ind i rumtidsændring i vektorpotentialet, som giver kilden til udgående sfæriske bølger.

For atomer er bølgelængden af det udsendte lys omkring 10.000 gange den atomare radius, og dipolmomentet er det eneste bidrag til strålingen, mens alle andre detaljer i atomladningsfordelingen kan negligeres.

Uden at tage hensyn til tilbageslaget er den effekt, der udstråles i hver udgående tilstand, summen af de individuelle bidrag fra kvadratet af hver uafhængig tid Fourier-tilstand d ,

P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.

Her, i Heisenberg-repræsentationen, er Fourier-koefficienterne for dipolmomentet matrixelementerne i X. Denne korrespondance gjorde det muligt for Heisenberg at introducere en regel for overgangsintensiteterne, den brøkdel af tid, i hvilken der, fra starttilstanden i , udsendes en foton, og atomet går over til den endelige tilstand j ,

P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.

Dette tillod derefter en statistisk fortolkning af størrelsen af matrixelementerne: de giver intensiteten af spektrallinjerne, sandsynligheden for kvantespring fra emissionen af dipolstråling .

Da overgangshastighederne er givet af matrixelementerne X , bør den tilsvarende overgang være fraværende i tilfælde, hvor Xij er lig med nul. De er blevet kaldt udvælgelsesregler , som var et mysterium før matrixmekanikkens fremkomst.

En vilkårlig tilstand af brintatomet uden hensyntagen til spindet er angivet med symbolet | n _ ℓ,m ⟩, hvor værdien ℓ er et mål for den samlede banevinkelmomentum, og m er dens z- komponent, som bestemmer kredsløbets orientering. Komponenterne i pseudovektoren af vinkelmomentum er

L_{i}=\epsilon _{ijk}X^{j}P^{k}\,

hvor produkterne i dette udtryk ikke afhænger af rækkefølgen af faktorerne og er reelle, fordi de forskellige komponenter i X og P pendler.

Kommuteringsrelationer L med alle tre koordinatmatricer X, Y, Z (eller med en hvilken som helst vektor) kan let findes ved formlen,

[L_{i},X_{j}]=i\epsilon _{ijk}X_{k}\,

hvor operatoren L genererer rotationer mellem de tre komponenter i vektoren af koordinatmatricer X .

Herfra kan vi betragte kommutatoren Lz og koordinatmatricerne X, Y, Z,

[L_{z},X]=iY\,

[L_{z},Y]=-iX\,

Det betyder, at mængderne X + iY , X − iY overholder simple kommuteringsregler,

[L_{z},X+iY]=(X+iY)\,

[L_{z},X-iY]=-(X-iY)\,

Ligesom matrixelementerne X + iP og X - iP for den harmoniske oscillator Hamiltonian, indebærer denne kommuteringslov, at disse operatorer kun har nogle off-diagonale matrixelementer i tilstande med en vis m ,

L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X +iY)|m\rangle \,

og matricen ( X + iY ) afbilder egenvektoren L z med egenværdien m til egenvektoren med egenværdien m + 1. På samme måde reducerer ( X − iY ) m med én, mens Z ikke ændrer værdien af m .

Så i grundlaget | ℓ,m ⟩ angiver, hvor L 2 og L z har bestemte værdier, matrixelementerne for enhver af de tre koordinatkomponenter er lig med nul, undtagen når m er den samme eller ændres med én.

Dette pålægger en begrænsning på ændringen i det samlede vinkelmoment. Enhver tilstand kan roteres, så dens vinkelmomentum er så stor som muligt i z -retningen , hvor m = ℓ. Matrixelement af koordinaten, der virker på | ℓ,m ⟩ kan kun give m værdier større end én, så hvis koordinaterne drejes, så den endelige tilstand er | ℓ',ℓ' ⟩, værdien ℓ' kan højst være én større end den største værdi ℓ, der forekommer i starttilstanden. Således er ℓ' højst ℓ + 1.

Matrixelementerne forsvinder ved ℓ' > ℓ + 1, og det inverse matrixelement bestemmes af dets Hermiticitet, så de forsvinder også ved ℓ' < ℓ — 1: dipolovergange er forbudt med en ændring i vinkelmomentet med mere end én .

Summation regler

Heisenbergs bevægelsesligning definerer matrixelementerne P i Heisenberg-grundlaget bestående af matrixelementerne X .

P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,

som gør den diagonale del af kommuteringsrelationen (trace) til en sumregel for størrelsen af matrixelementer:

\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij }|^{2}=i\,

Dette giver en relation for summen af de spektroskopiske linjeintensiteter for overgange til og fra enhver given tilstand, selvom for at være helt korrekt, skal bidrag fra sandsynligheden for strålingsfangst for ubundne spredningstilstande inkluderes i denne sum:

\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,

Noter

↑ Green, 2000 , s. 53.
↑ Herbert S. Green (1965). Matrixmekanik (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Holland) ASIN : B0006BMIP8.
↑ Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift fur Physik . 36 (5): 336-363. Bibcode : 1926ZPhy...36..336P . DOI : 10.1007/BF01450175 .
↑ Green, 2000 , s. femten.
↑ W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, München, (1969) The Birth of Quantum Mechanics Arkiveret 26. februar 2018 på Wayback Machine .
↑ IQSA International Quantum Structures Association . www.vub.be. _ Hentet 13. november 2020. Arkiveret fra originalen 20. april 2021. (ubestemt)
↑ W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (modtaget 29. juli 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (engelsk titel: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations")]
↑ HA Kramers und W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
↑ Emilio Segrè, From X-rays to Quarks: Modern Physicists and their Discoveries (WH Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , s. 153-157.
↑ Abraham Pais, Niels Bohr's Times in Physics, Philosophy, and Polity (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , s. 275-279.
↑ Max Født Arkiveret 19. oktober 2012 på Wayback Machine - Nobelforedrag (1954)
↑ M. Born og P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (modtaget 27. september 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ M. Born, W. Heisenberg og P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (modtaget 16. november 1925). [Engelsk oversættelse i: BL van der Waerden, redaktør, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ Jeremy Bernstein Max Born and the Quantum Theory , Am. J Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
↑ Mehra, bind 3 (Springer, 2001)
↑ Jammer, 1966, s. 206-207.
↑ van der Waerden, 1968, s. 51.
↑ Citatet af Born var i Born og Jordans papir, det andet papir i trilogien, der lancerede matrixmekanikformuleringen. Se van der Waerden, 1968, s. 351.
↑ Constance Ried Courant (Springer, 1996) s. 93.
↑ John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49-131 (1929)
↑ Da von Neumann forlod Göttingen i 1932, blev hans bog om kvantemekanikkens matematiske grundlag, baseret på Hilberts matematik, udgivet under titlen Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Se: Norman Macrae, John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Deterrence, and Much More (Genudgivet af American Nuclear Mathematical Society, 1999) og Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .
↑ PAM Dirac, "The fundamental equations of quantum mechanics", Proceedings of the Royal Society of London. Serie A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 online] Arkiveret 19. februar 2022 på Wayback Machine
↑ Bernstein, 2004, s. 1004.
↑ Greenspan, 2005, s. 190.
↑ 1 2 Nobelprisen i fysik og 1933 Arkiveret 15. juli 2008 på Wayback Machine - Nobelprispræsentationstale.
↑ Bernstein, 2005, s. 1004.
↑ Bernstein, 2005, s. 1006.
↑ Greenspan, 2005, s. 191.
↑ Greenspan, 2005, s. 285-286.
↑ Green, 2000 , s. 61.
↑ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ Dirac, PAM Kvantemekanikkens principper . — 4. revision. - New York: Oxford University Press, 1981. - ISBN 0-19-852011-5 . Arkiveret 15. april 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Green, H. Matrix kvantemekanik / Pr. fra engelsk. Ed. A. A. Sokolova. — N.: IO NFMI , 2000. — 160 s. - ISBN 5-80323-362-5 .
Bernstein, Jeremy (2005). "Max Born og kvanteteorien". American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 73 (11): 999-1008. DOI : 10.1119/1.2060717 . ISSN 0002-9505 .
Max Born Den statistiske fortolkning af kvantemekanik . Nobelforelæsning - 11. december 1954.
Greenspan, Nancy Thorndike. The End of the Certain World: The Life and Science of Max Born . - Grundbøger, 2005. - 400 s. — ISBN 0738206938 .
Jammer, Max . Udvikling af kvantemekanikkens begreber / Pr. fra engelsk. / Ed. L. I. Ponomareva. - M. : Nauka, 1985. - 384 s.
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut. Formuleringen af matrixmekanik og dens modifikationer, 1925-1926 . - Springer, 1982. - Vol. 3. - 342 s. — (Den historiske udvikling af kvanteteorien). — ISBN 9780824796815 .
Kilder til kvantemekanik (engelsk) / Redaktør BL van der Waerden. - Dover Publications, 2007. - Vol. 5. - 430 s. - (videnskabens klassikere). — ISBN 9780486458922 .
Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). "Forståelse af Heisenbergs "magiske" papir fra juli 1925: Et nyt blik på de beregningsmæssige detaljer". American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 72 (11): 1370-1379. arXiv : quant-ph/0404009 . DOI : 10.1119/1.1775243 . ISSN 0002-9505 .
Jordan, Thomas F. Kvantemekanik i simpel matrixform. - Wiley-Interscience. - Wiley-Interscience, 1986. - 260 s. — ISBN 9780471817512 .
Merzbacher, E. (1968). Matrixmetoder i kvantemekanik. Er. J Phys . 36 : 814-821. DOI : 10.1119/1.1975154 .