Fysisk pendul

Et fysisk pendul er en oscillator , som er et stift legeme, der svinger i feltet af enhver kræfter omkring et punkt, der ikke er dette legemes massecenter, eller en fast akse vinkelret på kræfternes retning og ikke passerer gennem dette legemes massecenter.

Differentialligningen for bevægelse af et fysisk pendul

Inertimoment om en akse, der går gennem ophængningspunktet, ifølge Steiners sætning :

I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right)

hvor er inertimomentet om aksen, der går gennem tyngdepunktet; er den effektive svingningsradius omkring aksen, der passerer gennem tyngdepunktet. $I_0$ $r$

Dynamisk ligning for vilkårlig rotation af et stift legeme:

I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s}

hvor er det samlede moment af kræfter, der virker på kroppen omkring rotationsaksen. $Frk$

{\displaystyle M_{s}=M+M_{f))

hvor er momentet af kræfter forårsaget af tyngdekraften; - kræftmomentet forårsaget af mediets friktionskræfter. $M$ ${\displaystyle M_{f))$

Momentet forårsaget af tyngdekraften afhænger af kroppens afvigelsesvinkel fra ligevægtspositionen:

M=mgh\sin \theta

Hvis vi negligerer mediets modstand, er differentialligningen for svingningerne af et fysisk pendul i tyngdefeltet:

I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta

Hvis vi dividerer begge sider af ligningen med og sætter $h$

\lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h

vi får:

\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2))}=-g\sin \theta

En sådan ligning svarer til ligningen for svingninger af et matematisk pendul med længde . Værdien kaldes den reducerede længde af det fysiske pendul. $\lambda$ $\lambda$

Center for sving af et fysisk pendul. Huygens' sætning

Svingcentret er det punkt, hvor hele massen af det fysiske pendul skal koncentreres, så dets svingningsperiode ikke ændres.

Lad os på bjælken, der passerer fra ophængningspunktet gennem tyngdepunktet, placere et punkt i en afstand fra ophængningspunktet. Dette punkt vil være midten af pendulets sving. $\lambda$

Faktisk, hvis hele massen er koncentreret i svingets centrum, vil svingens centrum falde sammen med tyngdepunktet. Så vil inertimomentet omkring ophængets akse være ens , og tyngdemomentet omkring samme akse . I dette tilfælde vil bevægelsesligningen ikke ændre sig. $I=m\lambda ^{2}$ $-mg\lambda \sin \theta$

Ifølge Huygens' sætning,

Hvis et fysisk pendul er ophængt af svingcentret, vil dets svingningsperiode ikke ændre sig, og det tidligere ophængningspunkt bliver det nye svingcenter.

Beregn den reducerede længde for det nye pendul:

\lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda

Sammenfaldet af de givne længder for de to tilfælde beviser påstanden i sætningen.

Perioden for oscillation af et fysisk pendul

Det mest generelle tilfælde

For at finde oscillationsperioden for et fysisk pendul er det nødvendigt at løse svingningsligningen.

For at gøre dette skal du gange venstre og højre side af denne ligning med . Derefter: $\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{ dt}}\right)$ $d\theta$

\lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta

Ved at integrere denne ligning får vi:

\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C

hvor er en vilkårlig konstant. Det kan findes ud fra betingelsen, at i situationer, hvor , det skal være ( er den maksimale afbøjningsvinkel). Vi får: $C$ $\theta =\pm \alpha$ ${\frac {d\theta }{dt}}=0$ $\alfa$

C=-2g\cos \alpha .

Erstat og transformer den resulterende ligning:

{\frac {d\theta }{dt))=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda ))}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{ 2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.

Adskil variablerne og integrer denne ligning:

{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\ frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2 }}}}}

Det er praktisk at ændre variablen ved at indstille . Så har den ønskede ligning formen: $\sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi$

t={\sqrt {\frac {\lambda }{g))}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^ {2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\venstre(\varphi \setminus \ alfa /2\right).

Her er det normale elliptiske Legendre-integral af den første slags . For oscillationsperioden får vi formlen: $F\venstre(\varphi \setminus \alpha \right)$

T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g))}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt { 1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K \left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).

Her er det komplette normale elliptiske Legendre-integral af den første slags . Hvis du udvider den i en række, kan du få en formel, der er praktisk til praktiske beregninger: $K\venstre(\sin {\frac {\alpha }{2}}\højre)$

T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g))}\left\{1+\left({\frac {1}{2))\right)^{2}\ sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\ sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n \right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.

Perioden med små svingninger af et fysisk pendul

Hvis - i tilfælde af små maksimale vinkelafvigelser fra ligevægt - så siden udvidelsen af sinus i Maclaurin-serien og bevægelsesligningen går ind i ligningen for en harmonisk oscillator uden friktion: $\alpha \ll 1$ $|\theta |<\alpha$ $\sin \theta \approx \theta$ $\sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\prikker$

\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .

Pendulets svingningsperiode i dette tilfælde :

T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g))}.

I en anden formulering: hvis oscillationsamplituden er lille, så er roden i nævneren af det elliptiske integral omtrent lig med én. Et sådant integral er let at tage, og den velkendte formel for små udsving opnås: $\alfa$

T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.

Denne formel giver resultater med acceptabel nøjagtighed (fejl mindre end 1%) ved vinkler, der ikke overstiger 4°.

Følgende tilnærmelsesrækkefølge kan bruges med acceptabel nøjagtighed (mindre end 1 % fejl) ved afbøjningsvinkler op til 1 radian (≈57°):

T\ca. 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g))}\venstre(1+{\frac {1}{4))\sin ^{2}\venstre({\ frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos { \alpha }\right).

Se også

Matematisk pendul