Tangentiel acceleration

Tangentiel acceleration er en komponent af acceleration rettet tangentielt til bevægelsesbanen . Det karakteriserer ændringen i hastighedsmodulet , i modsætning til den normale komponent , som kendetegner ændringen i hastighedsretningen.

Det er defineret som den afledede af hastighedsmodulet med hensyn til tid, ganget med en enhedsvektor langs hastigheden. Angivet med symbolet valgt for acceleration, med tilføjelse af indekset for den tangentielle komponent: eller , , . Målt i m/s 2 (i SI-systemet). $\tau$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau ))$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{t))$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{\tau ))$ $\mathbf {u} _{\tau }$

Værdien er lig med projektionen af den samlede acceleration på tangenten i et givet punkt på kurven, hvilket svarer til ekspansionskoefficienten i det medfølgende grundlag . $a_{\tau }$ $\mathbf {a}$

Generel formel

Værdien af tangentiel acceleration som en projektion af accelerationsvektoren på tangenten til banen kan udtrykkes som følger:

a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}

hvor er jordhastigheden langs banen, der falder sammen med den absolutte værdi af den øjeblikkelige hastighed på et givet tidspunkt. $v\ =dl/dt$

Hvis vi bruger notationen for enheden tangentvektor , så kan vi skrive den tangentielle acceleration i vektorform: ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt))\,\mathbf {\tau }

Tangentiel acceleration er parallel med hastighedsvektoren under accelereret bevægelse (positiv afledt) og antiparallel under langsom bevægelse (negativ afledt). ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau ))$ ${\mathbf v}$

Formlens oprindelse

Dekomponeringen af den totale acceleration i tangentielle og normale komponenter udføres ved at differentiere hastighedsvektoren med hensyn til tid , repræsenteret som en enhedstangensvektor : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {dv }{dt))\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau} }{dt))={\frac {dv}{dt))\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n}

Det første led er den tangentielle acceleration , og det andet er den normale acceleration ( og er krumningsradius og enheden normal på banen på det pågældende punkt). $\mathbf {a_{\tau }}$ $\mathbf {a_{n}}$ $R$ $\mathbf n$

Nogle eksempler

Eksempel 1

Hastigheden af en sten, der falder fra en højde med en begyndelseshastighed rettet vandret, før den falder til jorden, vil ændre sig som , hvor er fritfaldsaccelerationen . Hastighedsmodulet vil være , hvilket betyder, at den tangentielle acceleration er lige stor . I det indledende øjeblik er den lig med nul, og i det store hele har den en tendens til . Du kan også skrive tangential acceleration som en vektor: $v_{0}$ ${\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}$ $g$ ${\displaystyle v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2))))$ ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2))))$ $t$ $g$

{\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{ v))=a_{\tau}\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{ 2}+g^{2}t^{2))))={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{ 2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}} }\,{\vec {j}}

I disse udtryk , , er enhedsvektorer i kartesiske koordinater. $\vec{i}$ $\vec{j}$

Eksempel 2

Lad kroppens radiusvektor afhænge af tid ifølge loven . ${\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}$

I dette tilfælde findes kroppens hastighed som . Følgelig er dens modul ens og er en konstant værdi. Resultatet er, at den tangentielle acceleration er nul: ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \ sin(\omega t){\vec {j}}$ $v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\ sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega$

a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0

Den betragtede afhængighed beskriver ensartet bevægelse langs en cirkel med radius . ${\vec {r}}(t)$ $r_{0}$

Ækvivalens

Bevægelsen af et legeme med en konstant tangential acceleration kaldes lige variabel . Ordene "ækvivalent" ( const) og "ensartet accelereret" ( const) er ikke synonyme. Disse udtryk bliver kun udskiftelige i forhold til retlinet bevægelse. Ikke desto mindre er visse analogier mulige, når man overvejer begge disse typer bevægelser. $a_{\tau }=\,$ ${\vec {a}}=\,$

mekanisk bevægelse
referencesystem	inerti referenceramme Ikke-inertiel referenceramme Sammensat bevægelse Relativitetsprincippet
Materiale punkt	Ensartet bevægelse Retlineær bevægelse Bevægelsesligning Bevægelsesligninger i en ikke-inertiel referenceramme Bane (sti) bevæger sig Hastighed Acceleration ( centripetal acceleration tangentiel acceleration ) bindestreg
Fysisk krop	translationel bevægelse Plan-parallel bevægelse ( parallel oversættelse ) Sfærisk bevægelse ( Roterende bevægelse Cirkulær bevægelse Præcession nutation )
kontinuum	laminær strømning turbulent flow
Beslægtede begreber	Hastighedsplan Tog trækkraft Seks frihedsgrader