Pendulum af Kapitza

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. november 2016; checks kræver 8 redigeringer .

Pendulet af Kapitza er et system, der består af en vægt, der er fastgjort til en let, uudvidelig eger, som er fastgjort til et vibrerende ophæng. Pendulet bærer navnet på akademiker og nobelpristager P. L. Kapitsa , som i 1951 byggede en teori til at beskrive et sådant system [1] . Med et fast ophængningspunkt beskriver modellen et almindeligt matematisk pendul , hvor der er to ligevægtspositioner: ved bundpunktet og toppunktet. I dette tilfælde er ligevægten af det matematiske pendul ved toppunktet ustabil , og enhver vilkårlig lille forstyrrelse fører til tab af ligevægt.

En forbløffende egenskab ved Kapitza pendulet er, at i modsætning til intuitionen kan den omvendte (lodrette) position af pendulet være stabil i tilfælde af hurtige vibrationer af affjedringen. Selvom en sådan observation blev gjort tilbage i 1908 af A. Stephenson [2] , var der i lang tid ingen matematisk forklaring på årsagerne til en sådan stabilitet. P. L. Kapitsa undersøgte eksperimentelt et sådant pendul og byggede også en teori om dynamisk stabilisering, hvor bevægelsen blev opdelt i "hurtige" og "langsomme" variabler og introducerede et effektivt potentiale. P. L. Kapitzas arbejde, udgivet i 1951 [1] , åbnede en ny retning inden for fysik - vibrationsmekanik. PL Kapitsas metode bruges til at beskrive oscillerende processer i atomfysik , plasmafysik og kybernetisk fysik . Det effektive potentiale, der beskriver den "langsomme komponent af bevægelse" er beskrevet i bindet "mekanik" af kurset i teoretisk fysik af L. D. Landau [3] .

Kapitzas pendul er også interessant, fordi der i et så simpelt system kan observeres parametriske resonanser , når den nedre ligevægtsposition ikke længere er stabil, og amplituden af små afvigelser af pendulet stiger med tiden [4] . Med en stor amplitude af tvingende oscillationer kan kaotiske tilstande også realiseres i systemet, når mærkelige attraktorer observeres i Poincaré-sektionen .

Notation

Lad os rette aksen lodret opad, og aksen vandret, så pendulets plane bevægelse sker i planet ( - ). Lad os introducere notationen: $y$ $x$ $x$ $y$

$\nu$ er frekvensen af de påtvingende vertikale harmoniske svingninger af suspensionen,
$-en$ er amplituden af de tvingende vibrationer,
$\omega _{0}={\sqrt {g/l))$ er den naturlige frekvens af oscillationer af det matematiske pendul,
$g$ - tyngdeacceleration,
$l$ - længden af lysstangen,
$m$ - vægten af lasten.

Hvis vinklen mellem stangen og aksen er angivet som , vil afhængigheden af vægtens koordinater på tid blive skrevet med følgende formler: $y$ $\varphi$

\left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.

Pendulum Energy

Pendulets potentielle energi i gravitationsfeltet er givet ved vægtens lodrette position as

E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).

I kinetisk energi, ud over det sædvanlige udtryk , der beskriver bevægelsen af et matematisk pendul, er der yderligere komponenter forårsaget af vibrationen af suspensionen: $E_{\text{kin}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2$

E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi ){\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).

Den samlede energi er givet af summen af de kinetiske og potentielle energier , og systemets lagrangian er givet ved deres forskel . $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ $L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$

For et matematisk pendul er den samlede energi en bevaret størrelse, så den kinetiske energi og potentielle energi på grafen for deres afhængighed af tid er symmetriske omkring en vandret lige linje. Det følger af virialsætningen , at den gennemsnitlige kinetiske og potentielle energi i en harmonisk oscillator er ens. Derfor svarer den vandrette linje, med hensyn til hvilken der er symmetri og , til halvdelen af den samlede energi. $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}}$ $t$ $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}}$

Hvis kardanen svinger, er den samlede energi ikke længere bevaret. Kinetisk energi er mere følsom over for påtvingende vibrationer end potentiel energi. Potentiel energi er begrænset både oppefra og nedefra: , mens kinetisk energi kun er begrænset nedefra: . Ved høje frekvenser kan den kinetiske energi være meget større end den potentielle energi. $E_{\text{pot}}=mgy$ $-mg(l+a)<E_{\text{pot))<mg(l+a)$ $E_{\text{kin}}\geqslant 0$ $\nu$

Bevægelsesligning

Pendulets bevægelse opfylder Euler-Lagrange-ligningerne . Afhængigheden af pendulets fase af tid bestemmer vægtens position [5] : $\varphi$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }} .

Differentialligning

{\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi }{l)),

beskriver udviklingen af pendulets fase ikke-lineært på grund af multiplikatoren til stede i det . Tilstedeværelsen af et ikke-lineært udtryk kan føre til kaotisk adfærd og fremkomsten af mærkelige attraktorer . $\sin \varphi$

Ligevægtspositioner

Kapitza pendulmodellen er mere generel end den matematiske pendulmodel. Sidstnævnte opnås i begrænsende tilfælde . Faseportrættet af et matematisk pendul er velkendt. På koordinatplanet er det bare en cirkel . Hvis pendulets energi i det indledende tidspunkt var større end den maksimale potentielle energi , vil banen være lukket og cyklisk. Hvis energien af pendulet var mindre , vil det udføre periodiske svingninger omkring det eneste stabile ligevægtspunkt med den laveste værdi af potentiel energi . I tilfælde af et matematisk pendul ændres systemets samlede energi ikke. $a=0$ $x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const}$ $E>mgl$ $E<mgl$ $x=0,~y=-l$

I dette tilfælde er systemet ikke længere lukket, og dets samlede energi kan ændre sig. Hvis frekvensen af forceringssvingningerne samtidig er meget større end frekvensen af naturlige svingninger , så kan et sådant tilfælde analyseres matematisk . Det viser sig [1] , at hvis vi introducerer et effektivt potentiale, hvor pendulet bevæger sig (langsomt i forhold til frekvensen ), så kan dette potentiale have to lokale minima - det ene, som før, ved det nederste punkt , og det andet ved øverste punkt . Det vil sige, at punktet med absolut ustabil ligevægt for det matematiske pendul kan vise sig at være punktet for stabil ligevægt for Kapitsa-pendulet. $a\neq 0$ $\nu$ $\omega_0$ $\nu$ $(0,-l)$ $(0,l)$ $(0,l)$

Faseportræt

Interessante faseportrætter kan opnås for parameterværdier, der ikke er tilgængelige for analytisk overvejelse, for eksempel i tilfælde af en stor suspensionsoscillationsamplitude [6] [7] . Hvis vi øger amplituden af tvingende oscillationer til halvdelen af længden af pendulet , får vi et billede svarende til det, der er vist på figuren. $a\ca. l$ $a=l/2$

Med en yderligere stigning i amplituden (startende fra værdien ), begynder hele det indre rum at "udtvære" fuldstændigt, det vil sige, hvis tidligere ikke alle interne punkter i koordinatrummet var tilgængelige, nu kan systemet besøge ethvert punkt. Det er indlysende, at en yderligere forlængelse af længden ikke vil ændre billedet fundamentalt mere. $-en$ $a=l$ $-en$

Interessante fakta

Som P. L. Kapitsa bemærkede, har pendulure på en vibrerende base altid travlt.
I korridoren på Instituttet for Fysiske Problemer var der en arbejdsmodel af Kapitsas pendul, og enhver, der ønskede det, kunne ved selvsyn se, hvordan pendulet, når det blev tændt, rejste sig og forblev i lodret position.
Den effektive potentielle metode blev udviklet af P. L. Kapitsa, mens han arbejdede på en højfrekvensgenerator "Nigotron", opkaldt efter forskningsstedet i hans dacha på Nikolina Gora. For at undgå problemer med "hemmeligholdelse" ved offentliggørelse af metoden, kommer P. L. Kapitsa med en simpel fysisk model, som denne metode ville være anvendelig til. Der findes således artikler [1] om et pendul med vibrerende ophæng.
P. L. Kapitsa tilbød at løse problemet i en modificeret version til dem, der gik ind på hans efterskole. Det var påkrævet at finde stabilitetsbetingelserne for en akrobat på et bræt placeret på en cylinder, der lå på siden. Det forventede svar var, at hvis akrobaten hurtigt begyndte at træde over hans fødder, så blev hans position stabil.
Når man går , øges kroppens stabilitet flere gange sammenlignet med stabiliteten, når man står. Dette biomekaniske fænomen er endnu ikke blevet undersøgt. Der er en hypotese, der forklarer kroppens stabilitet, når man går med oscillerende bevægelser i midten af ankelleddet. Den menneskelige krop er repræsenteret fra positionen af et omvendt pendul med et center i området af ankelleddene, som opnår stabilitet i en lodret position, hvis dets centrum svinger op og ned med en tilstrækkelig høj frekvens (Kapitzas pendul).

Litteratur

↑ 1 2 3 4 Kapitsa P.L. "Dynamisk stabilitet af et pendul med et oscillerende suspensionspunkt" ZhETF, bind 21, nr. 5. s. 588-597 (1951); Kapitsa P.L. “Pendulum with a vibrating suspension”, UFN, vol. 44, no. 1. S. 7-20 (1951).
↑ A. Stephenson "On an induced stabilitet" Phil. Mag. 15, 233 (1908).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. - 5. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — (“Teoretisk fysik”, bind I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Butikov E. I. "Pendulum med et oscillerende ophæng (i anledning af 60-årsdagen for Kapitza-pendulet)", lærebog Arkiveksemplar dateret 12. juli 2014 på Wayback Machine .
↑ Krainov V.P. Udvalgte matematiske metoder i teoretisk fysik. MIPT Publishing House (1996).
↑ Astrakharchik G.E. og Astrakharchik N.A. "Research of the Kapitza pendulum" (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik "Numerical study of Kapitza pendulum") arXiv:1103.5981 (2011)
↑ Realtidsvisualisering af Kapitsa-pendulets bevægelser er tilgængelig på internettet på websteder Arkiveret kopi (utilgængeligt link) . Hentet 8. april 2011. Arkiveret fra originalen 1. oktober 2011. (ubestemt) og http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Arkiveret 2. maj 2011 på Wayback Machine Pendulum-parametre kan vælges vilkårligt og indtastes manuelt.