Gruppe ring

En gruppering er en ring , der på samme tid er et frit modul , der kan konstrueres ud fra en given ring og en given gruppe . Uformelt set er en gruppering et frit modul over en ring, hvis basis er i bijektiv overensstemmelse med gruppens elementer ; multiplikationen af basiselementerne er defineret som multiplikationen af gruppens elementer, og multiplikationen "strækker sig langs med linearitet" til de resterende elementer. $K[G]$ $K,$ $g,$

Apparatet til grupperinge er især nyttigt i grupperepræsentationsteori .

Definition

Lad være en ring og lad være en gruppe. Så er en gruppering et sæt af endelige formelle summer af formen , som adderes og ganges som følger: $K$ $G$ $K[G]$ $\alpha =\sum _{{g\i G}}a_{g}g,\quad a_{g}\i K$

Hvis , så $\alpha =\sum _{{g\i G}}a_{g}g,\ \beta =\sum _{{g\i G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\sum _{{g\i G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\sum _{{g\in G}}\left(\sum _{{xy=g, \top x,y\in G}}a_{x}b_{y}\right )g

Egenskaber

Hvis og er kommutativ, så er den kommutativ. $K$ $G$ $K[G]$
Hvis er en ring med enhed, så er en ring med enhed. $K$ $K[G]$
Indlejringen i danner grundlaget for grupperingen. $G$ $K[G]$
Hvis er en undergruppe af , så er en underring af ringen . $H$ $G$ $K[H]$ $K[G]$
Lad er et felt , så kan hvert element associeres med en lineær transformation af vektorrummet - multiplikation med den tilsvarende basisvektor til venstre. Denne kortlægning angiver den regelmæssige repræsentation af gruppen . $K$ $G$ $K[G]$

Litteratur

B.L. van der Waerden. Algebra. — M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Teori om repræsentationer af grupper. — M .: Nauka, 1976.