Ordrestatistik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. marts 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Ordinal statistik i matematisk statistik er et ikke-faldende ordnet stikprøve af ligeligt fordelte uafhængige tilfældige variabler og dets elementer, der indtager en strengt defineret plads i den varierede population.

Definition

Lade være en endelig stikprøve fra fordelingen defineret på nogle sandsynlighed rum . Lad og . Vi omnummererer rækkefølgen i ikke-faldende rækkefølge, således at $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\omega \i \Omega$ $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n))$

{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)))

Denne sekvens kaldes en variationsserie . Variationsserien og dens termer er ordrestatistik. Den tilfældige variabel kaldes den -. ordens statistik af den oprindelige stikprøve [1] . Ordrestatistikker er grundlaget for ikke-parametriske metoder. ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)))$ $k$

Noter

Selvfølgelig ud fra definitionen:

$X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ;
$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ .

Ordrestatistik for en absolut kontinuerlig fordeling

Lad en uafhængig stikprøve gives fra en absolut kontinuert fordeling givet af en fordelingstæthed og en fordelingsfunktion . Så har ordrestatistikken også absolut kontinuerte fordelinger, og deres fordelingstætheder har formen [2] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $f_{X}$ $F_{X}$

f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1 [1-F_{X}(x)]^{nk}f_{X}(x)

Tilfældig vektor , hvor også har en absolut kontinuerlig fordeling, og den fælles fordelingstæthed har formen: $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$ $1\leq j<k\leq n$

f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\venstre\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{( j-1)!(kj-1)!(nk)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X }(x_{j})]^{kj-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{nk}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k }),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.

Eksempel

Lad være en prøve fra den standard kontinuerlige ensartede fordeling . Derefter $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$

$f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{ nk},\quad u\in [0,1]$ ,

dvs. hvor er betafordelingen ; $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$ $\mathrm {B}$

$f_{U_{(j)},U_{(k)))(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(kj-1) !(nk)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{kj-1}[1-u_{k}]^{nk},\quad j <k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$ ;
$f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\ leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$ .

Se også

Noter

↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 847 .
↑ Bevis arkiveret 27. februar 2012 på Wayback Machine , s. 12, kl. 1.18