Måler invarians

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. maj 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Gauge-invarians er invariansen af fysisk feltteori-forudsigelser med hensyn til (lokale) gauge-transformationer - koordinatafhængige felttransformationer, der beskriver overgangen mellem baser i rummet af interne symmetrier i dette felt.

Gauge-invarians blev først etableret i klassisk elektrodynamik . Feltets globale (uafhængige af koordinaten) gauge-invarians i kraft af Noethers sætning fører til loven om bevarelse af ladningen af dette felt (især for elektrodynamik til loven om bevarelse af elektrisk ladning ). Den lokale (koordinatafhængige) måleinvarians af ladede felter til bevarelse af teoriens dynamiske ligninger kræver introduktion af nye, såkaldte målefelter.

Kravet om gauge invarians er en af de vigtigste bestemmelser i elementær partikelfysik . Det er gennem måleinvarians, at det er muligt at beskrive de elektromagnetiske , svage og stærke interaktioner på en selvkonsistent måde i Standardmodellen . Især det elektromagnetiske felt "optræder" i en eller anden kvantefeltteori under det yderligere krav om lokal gauge-invarians af teoriens Lagrangian. Ifølge dette princip er det muligt at "udlede" kvanteelektrodynamikkens Lagrangian (QED) fra Dirac-feltets Lagrangian (elektronfelt eller elektron-positronfelt).

Symmetri i fysik
transformation	Tilsvarende invarians	Den tilsvarende fredningslov
↕ Sendetid _	Tidens ensartethed	…energi
⊠ C , P , CP og T - symmetrier	Tids isotropi	... paritet
↔ Udsendelsesplads _	Rummets homogenitet	…impuls
↺ Rotation af rummet	Isotropi af rummet	… momentum
⇆ Lorentz gruppe (forstærker)	Relativitet Lorentz kovarians	… bevægelser af massecentret
~ Måletransformation	Måler invarians	... opladning

I klassisk elektrodynamik

Lade være en vilkårlig skalar funktion af koordinater og tid. Så hvis vi ændrer potentialerne som følger: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \nabla f,

hvor φ og A er skalar- og vektorpotentialer,

så vil systemets faktiske observerede adfærd ikke ændre sig.

Dette er indlysende fra det faktum, at værdierne af de elektriske og magnetiske felter vil forblive de samme under en sådan transformation. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Faseuafhængighed af et komplekst tal

Forenklet kan den grundlæggende idé om måleinvarians forklares som følger. Den vigtigste egenskab, der beskriver et fysisk system i kvantemekanikken , bølgefunktionen , er en kompleks størrelse . Alle observerbare størrelser, der er konstrueret som bilineære kombinationer af bølgefunktioner, viser sig dog at være reelle (som det burde være - trods alt, i vores håndgribelige verden er alle størrelser reelle). Som et resultat viser det sig, at intet i teoriens forudsigelser vil ændre sig, hvis bølgefunktionerne ganges med et komplekst tal, der i absolut værdi er en - . (Adjointfunktionen ganges hhv. med det konjugerede komplekse tal). Dette er helt naturligt: den absolutte værdi af fasen af et komplekst tal er en vilkårlig ting og bør ikke påvirke teoriens forudsigelser. $e^{{i\alpha}}$

Kvantemekanikken er således invariant under globale faserotationer , ellers kaldet globale gauge-transformationer .

Ideen om måleinvarians

Er kvantemekanikken invariant med hensyn til lokale faserotationer ( lokale måletransformationer )? Med andre ord, vil noget ændre sig, hvis vi roterer bølgefunktionen på et punkt til en fase og på et andet punkt til et andet? Ja, det vil ændre sig. Især er det indlysende, at højre side af Schrödinger-ligningen vil ændre sig, og det på en næsten vilkårlig måde, og dermed systemets udvikling over tid. Det vil sige, at kvantemekanikken for en fri partikel viser sig at være ikke-invariant med hensyn til lokale faserotationer. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

Er det muligt at genoprette invarians? Ja du kan. Men for dette er det nødvendigt at introducere et nyt fysisk felt , som "føler" det indre rum, hvori vi producerer faserotationer. Som et resultat heraf transformeres både bølgefunktionerne og det nye felt under lokale faserotationer desuden på en sådan måde, at ændringer i ligningerne på grund af disse faserotationer kompenserer, "kalibrerer" hinanden. Det vil sige, at kvantemekanik med et ekstra nyt felt er blevet måleinvariant.

Hvis vi nu studerer det nye felts egenskaber, så vil det ligne det elektromagnetiske felt , som vi observerer i vores verden. Især vekselvirkningen af dette felt med stof falder netop sammen med vekselvirkningen af det elektromagnetiske felt. Derfor er det helt naturligt at identificere disse to felter, når man konstruerer en teori.

Kravet om måleinvarians viste sig således at være en uventet bekvem måde at introducere det elektromagnetiske felt i teorien også. Det behøvede ikke at blive betragtet særskilt, det dukkede op i teorien nærmest "af sig selv".

Målefelter som grundlag for standardmodellen

Den første forenede teori om gravitations- og elektromagnetiske felter baseret på ideerne om gauge-invarians blev foreslået af G. Weil . Den moderne teori om målefelter udvikler og generaliserer hans ideer [1] baseret på måletransformationer af en mere kompleks form, som er ansvarlige for invarians i nogle mere komplekse rum af indre frihedsgrader.

For eksempel fører invariansen under kvark -rotationer i farverum til, at stærke interaktioner også kan beskrives som målefelter. Svage interaktioner kan ikke beskrives separat som gauge interaktioner, men der er en uventet elegant metode til at beskrive de elektromagnetiske og svage interaktioner samtidigt som to forskellige manifestationer af et bestemt gauge elektrosvagt felt.

Således er alle fundamentale interaktioner udledt på basis af gauge-invarians. Ud fra synspunktet om at konstruere en fysisk teori er dette et ekstremt økonomisk og vellykket skema.

Gravitationsinteraktionen skiller sig ud. Det viser sig også at være et målefelt, og den generelle relativitetsteori er netop målteorien om gravitationsinteraktion. Det er dog for det første formuleret ikke på kvanteniveau, og det er stadig ikke klart, hvordan man præcist skal kvantisere det, og for det andet er det rum, hvori rotationer udføres, vores firedimensionelle rum-tid , og ikke det indre. rum af interaktion symmetri.

Historie

Den tidligste feltteori med gauge symmetri var Maxwells formulering af klassisk elektrodynamik i 1864-1865, som sagde, at ethvert vektorfelt, hvis rotor forsvinder, ikke ændres, når gradienten af funktionen tilføjes, det vil sige for en sådan tilføjelse til vektorpotentialet ændrer ikke magnetfeltet [2] . Betydningen af denne symmetri gik ubemærket hen i de tidligste formuleringer. Tilsvarende, stille og roligt , udledte Hilbert Einsteins feltligninger ved at postulere handlingens invarians under en generel koordinattransformation. Senere foreslog Hermann Weyl , i et forsøg på at forene generel relativitetsteori og elektromagnetisme , at invarians under reskalering (eller "måler") også er en lokal symmetri af generel relativitetsteori [3] . Efter udviklingen af kvantemekanikken modificerede Weil, Vladimir Fock og Fritz London måleren ved at erstatte skalafaktoren med en kompleks størrelse og vendte skalatransformationen til en faseændring - dette er U(1) målersymmetrien. Dette forklarede det elektromagnetiske felts indflydelse på bølgefunktionen af en ladet fundamental partikel . Dette var den første bredt accepterede gauge-teori, populariseret af Pauli i 1941 [4] .

I 1954, i et forsøg på at løse en masse forvirring inden for partikelfysik , præsenterede Zhenning Yang og Robert Mills ikke-abelian gauge-teori som en model til at forstå den stærke kraft, der holder nukleoner sammen i atomkerner [5] . (Ronald Shaw, der arbejdede under Abdus Salam , introducerede uafhængigt begrebet i sin doktorafhandling.) Ved at generalisere elektromagnetismens gauge-invarians forsøgte de at konstruere en teori baseret på den (ikke-abiske) symmetrigruppe SU(2)'s virkning på isospin - dubletten af protoner og neutroner . Dette svarer til virkningen af U (1) -gruppen på spinorfelter i kvanteelektrodynamik . I partikelfysik er der lagt vægt på brugen af kvantificerede gauge-teorier.

Senere fandt denne idé anvendelse i kvantefeltteorien om den svage interaktion og dens kombination med elektromagnetisme i den elektrosvage teori. Gauge-teorier blev endnu mere attraktive, da det viste sig, at ikke-abelske gauge-teorier reproducerer et træk kaldet asymptotisk frihed , som blev betragtet som et vigtigt kendetegn ved stærke interaktioner. Dette foranledigede søgningen efter en måleteori for den stærke interaktion. Denne teori, nu kendt som kvantekromodynamik , er en måleteori med virkningen af SU(3) -gruppen på kvarkfarvetripletten . Standardmodellen kombinerer beskrivelsen af elektromagnetisme, svage vekselvirkninger og stærke vekselvirkninger i måleteoriens sprog.

I 1970'erne begyndte Michael Atiyah at studere matematikken i løsninger til de klassiske Yang-Mills- ligninger . I 1983 viste Atiyahs elev Simon Donaldson , ved at trække på dette arbejde, at den differentierbare klassificering af glatte 4 - manifolder er meget forskellig fra deres klassificering op til homeomorfisme [6] . Michael Friedman brugte Donaldsons arbejde til at vise eksotiske strukturer i R 4 , det vil sige eksotiske differentierbare strukturer i euklidisk 4-rum. Dette førte til en voksende interesse for måleteori som sådan, uanset dens fremskridt inden for grundlæggende fysik. I 1994 opfandt Edward Witten og Nathan Seiberg gauge-teoretiske metoder baseret på supersymmetri , som gjorde det muligt at beregne nogle topologiske invarianter [7] [7] ( Seiberg-Witten invarianter ). Dette bidrag fra gauge teori til matematik har ført til fornyet interesse for området.

Betydningen af måleteorier i fysik illustreres af den matematiske formalismes enorme succes med at skabe en samlet ramme for beskrivelse af kvantefeltteorier : elektromagnetisme , svag interaktion og stærk interaktion . Denne teori, kendt som standardmodellen , beskriver nøjagtigt eksperimentelle forudsigelser om tre af de fire grundlæggende naturkræfter og er en gauge-teori med en gauge-gruppe på SU(3) × SU(2) × U(1) . Moderne teorier som strengteori , såvel som generel relativitetsteori , er måleteorier på den ene eller anden måde.

Se Pickering [8] for mere information om historien om måle- og kvantefeltteorier.

Global gauge symmetri U(1)

Ifølge Noethers sætning fører invariansen af handlingen med hensyn til en eller anden kontinuerlig operation (gruppe) af symmetri til den tilsvarende bevarelseslov [9] . Det omvendte udsagn om, at hver bevaret størrelse har sin egen symmetri, er også sand, hvilket kan observeres i eksemplet med bevarelse af elektrisk ladning [10] . Lad Lagrangian af et system af to rigtige frie skalarfelter og gives i form [11] $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{ 2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

så kan man formelt betragte disse to felter i et todimensionelt isotoprum med enhedsvektorer i formen $({\vec {i)),{\vec {j)))$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Denne repræsentation gør det muligt at afsløre den geometriske betydning af målertransformationen. I dette tilfælde antager Lagrangian (1.1) den simple form

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

som ikke ændres under sporviddetransformationer

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

( 1.4 )

En sådan rotation gennem en vinkel i et isotopisk rum er et element i den ortogonale gruppe af todimensionelle rotationer O(2) eller gruppen U(1), som er isomorf til den, ændrer ikke Lagrangian af systemet (1.3) [11] . Hvis vi betragter disse felter som et par komplekse felter, så kan Lagrangian (1.1) skrives som [12] $\alfa$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ phi\,,

( 1,5 )

og måletransformationen for komplekse felter bliver

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1,6 )

Denne symmetri har en global karakter, da den ikke påvirker rum-tid-koordinaterne [12] [10] .

Lokal målersymmetri

Spørgsmålet opstår, om det er muligt at erstatte den globale symmetri med en lokal, det vil sige afhængigt af et punkt i rum-tid , men samtidig med at lagrangiens egenskaber bevares. Det viser sig, at Lagrangian ændrer sin form på grund af tilstedeværelsen af yderligere derivater af funktionen [11] . Ikke desto mindre er det muligt at ændre Lagrangian på en sådan måde, at den bevares under påvirkning af lokale gauge-transformationer. For at gøre dette introduceres et nyt vektorfelt, der interagerer med Noether-strømmen. Tilføjelsen til Lagrangian (1,5) har formen $\phi (x)\højrepil e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\højrepil e^{i\alpha (x)} \phi ^{*}(x)$ $\alfa(x)$ $A_{{\mu ))$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu }\,,

( 1,7 )

hvor er den dimensionsløse koblingskonstant [13] . Dette fører til udseendet af et bidrag til variationen af Lagrangian fra produktet af alle felter, og for at slippe af med det introduceres endnu et udtryk $e$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu}A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1,8 )

som fuldstændigt genopretter sporvidden af den nye Lagrangian [13] . Da det indførte vektorfelt også skal yde et gratis bidrag til Lagrangian, introduceres en 4-dimensionel feltrotor til det i henhold til standardformlen - dette er den elektromagnetiske feltstyrketensor. Tilføjelse af bidragene (1.5) , (1.7) og (1.8) til Lagrangian af det frie vektorfelt , er resultatet Lagrangian af elektrodynamikken af det komplekse skalarfelt [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu ))$ $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\phi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu}\phi )(\partial ^{\mu}\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu}+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu}\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\, ,

( 1,9 )

hvor feltet svarer til en elektrisk ladning og det komplekse felt svarer til en ladning med det modsatte fortegn Denne tilgang til indførelse af elektromagnetisk interaktion blev brugt af Weil i 20'erne af det XX århundrede [15] . $\phi$ $e,$ $\phi ^{*}$ $-e.$

Målersymmetri viste sig at være relateret til interaktionsformen [15] . Symmetri bestemmer også utvetydigt dynamikken i partikelinteraktion. Begrebet lokal gauge symmetri kan anvendes på kvarker og hjælpe med at opbygge teorien om stærke interaktioner [10] .

Se også

Noter

↑ Uchiyama, 1986 , s. 174.
↑ Vizgin, 1985 , s. 261.
↑ Vizgin, 1985 , s. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). "Relativistiske feltteorier om elementarpartikler". Rev. Mod. Phys . 13 (3): 203-32. Bibcode : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
↑ Yang CN, Mills RL (1954). "Bevarelse af isotopisk spin og isotopisk måleinvarians". Phys. Rev. 96 : 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Donaldson, Simon K. (1983). "Selvdobbelte forbindelser og topologien af glatte 4-manifolds". Tyr. amer. Matematik. soc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Elektrisk-magnetisk dualitet, monopolkondensation og indeslutning i N=2 supersymmetrisk Yang-Mills teori , Nuclear Physics B Vol . 426 (1): 19–52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Erratum , Nuclear Physics B bind 430 (2): 485-486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Constructing Quarks. - University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovsky, 2003 , s. 24.
↑ 1 2 3 S. S. Gershtein. Hvad er en farveladning, eller hvilke kræfter binder kvarker // Sorovsky Educational Journal. - 2000. - Nr. 6 . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovsky, 2003 , s. 27.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 26.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 29.
↑ Sadovsky, 2003 , s. tredive.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 31.

Litteratur

Vizgin V.P. Forenede feltteorier i den første tredjedel af det XX århundrede. - M. : Nauka, 1985. - 304 s.
Sadovsky MV Forelæsninger om kvantefeltteori . - Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson JD og Okun LB Historiske rødder til måleinvarians // Rev. Mod. Phys.. - 2001. - T. 73 . - S. 663 . - doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . - arXiv : hep-ph/0012061 .
G. 't Hooft, Gauge teorier om kræfter mellem elementarpartikler , " Advances in the Physical Sciences ", 1981, bind 135, nr. 3, s. 379. (oversættelse af en artikel fra Scientific American , juni 1980, bind 242, s.90.)
Konopleva N. P., Popov V. N. . Kalibreringsfelter. — M .: Atomizdat , 1972.
Slavnov AA, Faddeev LD Introduktion til kvanteteorien for målefelter. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1988.
Sardanashvili G. A. Moderne metoder til feltteori. 1. Geometri og klassiske felter. - M .: URSS , 1996. - ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvili G. A. Moderne metoder til feltteori. 4. Geometri og kvantefelter. - M .: URSS , 2000. - ISBN 5-88417-221-4 .
Uchiyama R. Hvad er fysikken kommet til. Fra relativitetsteorien til teorien om målefelter. - M . : Viden, 1986. - 224 s.
Voloshin M. B. , Ter-Martirosyan K. A. Teorien om måleinteraktioner mellem elementarpartikler. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 288 s.
Ivanenko D. D. (red.). Elementære partikler og kompenserende felter. - M . : Mir, 1964. - 298 s.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)