Sætning om bevægelsen af systemets massecenter

Sætningen om bevægelsen af systemets massecenter (inerticentrum) er en af dynamikkens sætninger , en konsekvens af Newtons love . Han hævder, at accelerationen af systemets massecenter ikke afhænger af de indre kræfter i samspil mellem systemets kroppe, og relaterer denne acceleration til de ydre kræfter, der virker på systemet [1] [2] .

Systemet, der henvises til i sætningen, kan være et hvilket som helst mekanisk system, for eksempel et sæt materialepunkter , et udvidet legeme eller et sæt af udvidede legemer.

Sætningens standardudsagn

Når man overvejer et systems bevægelse, er det ofte nyttigt at kende bevægelsesloven for dets massecenter. I det generelle tilfælde er denne lov, som er indholdet af teoremet om massecentrets bevægelse, formuleret som følger [1] :

Bevis

Lad systemet bestå af materialepunkter med masser og radiusvektorer . Massecentret (inerticentrum) er [1] [3] et geometrisk punkt, hvis radiusvektor opfylder ligheden $N$ $m_{i}$ $\vec r_i$ ${\vec R}_{c}$

{\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

hvor er massen af hele systemet, lig med $M$ $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Ved at differentiere to gange i tid opnår vi for accelerationen af massecentret : ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

hvor er accelerationen af et materialepunkt med nummer i . ${\vec a}_{i}$

For yderligere overvejelse opdeler vi alle de kræfter, der virker på systemets kroppe i to typer:

eksterne - kræfter, der virker fra organer, der ikke er inkluderet i det pågældende system. Resultanten af ydre kræfter, der virker på et materielt punkt med tallet i , angivet med ; $\vec F_i$
indre - kræfter, som selve systemets kroppe interagerer med hinanden med. Den kraft, hvormed et punkt med nummer k virker på et punkt med nummer i , vil blive betegnet med . Følgelig vil slagkraften af det i - te punkt på det k -te punkt blive betegnet med . For vilje ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Ved hjælp af den indførte notation kan Newtons anden lov for hvert af de betragtede materielle punkter skrives i formen

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad

Ved at opsummere sådanne ligninger for alle i får vi:

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \ grænser _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad

Udtrykket er summen af de indre kræfter, der virker i systemet. Lad os nu tage i betragtning, at i henhold til Newtons tredje lov svarer hver kraft i denne sum til en kraft , således at og derfor er opfyldt. Da hele summen består af sådanne par, er summen i sig selv lig nul. På denne måde $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \ qquad

Yderligere, betegner og erstatter det resulterende udtryk i ligheden for , når vi frem til ligningen $\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$ ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,

eller

\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad

Massecentrets bevægelse er således kun bestemt af ydre kræfter, og indre kræfter kan ikke have nogen indflydelse på denne bevægelse. Den sidste formel er det matematiske udtryk for sætningen om bevægelsen af systemets massecenter.

Alternativ formulering af sætningen

Formen for den endelige formel for er nøjagtig den samme som formlen for Newtons anden lov. Dette indebærer gyldigheden af en sådan formulering af teoremet om massecentrets bevægelse [1] [3] : ${\vec a}_{c}$

Lov om bevarelse af bevægelse af massecentret

I fravær af ydre kræfter, og også når summen af alle ydre kræfter er lig med nul, er accelerationen af massecentret nul, og derfor er dens hastighed konstant. Således er udsagnet sandt, hvilket er indholdet af loven om bevarelse af massecentrets bevægelse:

Især hvis massecentret oprindeligt var i hvile, så vil det under disse forhold fortsætte med at være i hvile.

Det følger af loven om bevarelse af massecentrets bevægelse, at referencerammen, der er knyttet til massecentret i et lukket system, er inerti. Brugen af sådanne referencesystemer til undersøgelse af de mekaniske egenskaber af lukkede systemer er at foretrække, da den ensartede og retlinede bevægelse af systemet som helhed på denne måde er udelukket fra overvejelse.

Der er tilfælde, hvor summen af eksterne kræfter ikke er lig med nul, men dens projektion i enhver retning er lig med nul. I dette tilfælde er projektionen af accelerationen af massecentret i denne retning også lig med nul, og følgelig ændres massecentrets hastighed langs denne retning ikke.

Betydningen af sætningen

Den beviste sætning udvider og underbygger mulighederne for at bruge begrebet et materielt punkt til at beskrive bevægelser af legemer. Faktisk, hvis kroppen bevæger sig translationelt, så er dens bevægelse fuldstændig bestemt af bevægelsen af massecentret, som igen er beskrevet af den resulterende ligning for . Et legeme i bevægelse kan således altid betragtes som et materialepunkt med en masse lig med kroppens masse, uanset dets geometriske dimensioner. Derudover kan kroppen betragtes som et væsentligt punkt i alle de tilfælde, hvor kroppens rotation på grund af problemets betingelser ikke er af interesse, og for at bestemme kroppens position er det nok at vide placeringen af dets massecentrum. ${\vec a}_{c}$

Den praktiske værdi af sætningen ligger i det faktum, at når du løser problemet med at bestemme arten af bevægelsen af massecentret, giver det dig mulighed for fuldstændigt at udelukke alle indre kræfter fra overvejelse.

Historie

Loven om bevarelse af massecentrets bevægelse blev formuleret af Isaac Newton i hans berømte værk "The Mathematical Principles of Natural Philosophy ", udgivet i 1687 . I. Newton skrev: "Tyngepunktet i et system af to eller flere legemer fra vekselvirkningen af legemer på hinanden ændrer hverken dets hviletilstand eller bevægelsestilstand; derfor er tyngdepunktet for systemet af alle kroppe, der virker på hinanden (i fravær af ydre handlinger og forhindringer) enten i hvile eller bevæger sig ensartet og retlinet” [4] . Yderligere konkluderede han: "Således skal det translationelle momentum af et individuelt legeme eller et system af kroppe altid beregnes ud fra bevægelsen af deres tyngdepunkt" [4] .

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - M . : Højere skole, 1995. - S. 273-280. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. — M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. - S. 115-116. — 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ 1 2 Targ S. M. Træghedscenter (massecentrum) // Fysisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1999. - V. 5: Stroboskopiske apparater - Lysstyrke. - S. 624-625. — 692 s. — 20.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ 1 2 Isaac Newton . Naturfilosofiens matematiske principper = Philosophia naturalis principia matematica / Oversættelse fra latin og noter af A. N. Krylov . - M . : Nauka, 1989. - S. 45-49. — 688 s. - (videnskabens klassikere). - ISBN 5-02-000747-1 .

Sætning om bevægelsen af ​​systemets massecenter