Enhed (algebra)

Enheden i ringteori er det tosidede neutrale element i multiplikationsoperationen. En ring, der indeholder én, kaldes en ring med én . Enheden er som regel angivet med tallet "1" (som afspejler sådanne egenskaber ved tallet af samme navn ) eller nogle gange (for eksempel i matrix algebra ), det latinske bogstav I eller E.

Forskellige definitioner af algebraiske objekter kan enten kræve tilstedeværelsen af en enhed eller lade den være et valgfrit element. Et ensidigt neutralt element kaldes ikke en enhed. Enheden er unik ved den generelle egenskab af et tosidet neutralt element.

Nogle gange er enhederne i en ring dens reversible elementer , hvilket kan være forvirrende.

En-, nul- og kategoriteori

Afhængigt af den algebraiske struktur og dens nøjagtige definition kan ligheden 1 = 0 både være forbudt og tilladt, men hvor en sådan lighed finder sted, er objektet trivielt . Et felt har en enhed pr. definition, og 1 ≠ 0 er påkrævet , så hvert felt indeholder mindst to forskellige elementer. I kategorien Ring af enhedsringe er trivielringen et terminalobjekt .

Enheden er det eneste element i ringen, både idempotent og invertibel.

Reversibilitet

Ethvert element u i en ring med enhed, der er en tosidet divisor af enhed, kaldes invertibel , det vil sige:

\exists v_{1}:v_{1}\,u=1

\exists v_{2}:u\,v_{2}=1

Af multiplikationens associativitet følger det, at i dette tilfælde v 1 = v 2 , hvilket igen indebærer, at valget er unikt.

Reversible elementer kaldes undertiden algebraiske enheder ( engelsk unity , fransk unité ), men dette begreb er bredere end et specifikt neutralt element 1 . For eksempel i et felt er ethvert andet element end nul inverterbart.

Idempotens

Hvis er en idempotent i en ring og idealerne og falder sammen, så er e identiteten der (i subringen). $e\in R$ $eR$ $Re$

Tilføjelse af en enhed

Enhver algebra over en kommutativ ring , selv ikke nødvendigvis associativ, kan udvides til én dimension ved at tilføje elementet 1 og definere multiplikation på lineære kombinationer som:

{\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{ 2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} ))

samtidig med at sådanne egenskaber som associativitet og kommutativitet af multiplikation bevares. Element 1 vil være enheden for den udvidede algebra. Hvis algebraen allerede havde en enhed, vil den efter udvidelsen blive til en irreversibel idempotent.

Dette kan for eksempel også gøres med en ring, fordi hver ring er en associativ algebra over . $\mathbb {Z}$

I graderede algebraer

I graderet algebra kræves en enhed (hvis den findes) for at have grad 0.

Eksempler

1 (tal) : i heltal , rationaler , reelle tal og andre tal
Identitetsmatrix : se matrixmultiplikation
Identitetsoperator i operatoralgebraer
Polynomium 1 (nul grad) i ringen af polynomier