En analytisk funktion med flere værdier er en kompleks funktion med flere værdier opnået ved analytisk fortsættelse langs alle veje.
Et analytisk element er et par , hvor ( for funktioner af flere variable) er et domæne i , og en enkeltværdi analytisk funktion i dette domæne.
To analytiske elementer og kaldes direkte analytisk fortsættelse af hinanden gennem domænet, hvis skæringspunktet er ikke-tomt og på en af de forbundne komponenter i skæringspunktet af funktionen og er ens.
Et analytisk element kaldes en analytisk fortsættelse af et element gennem en kæde af domæner, hvis der er en sådan kæde af elementer , at hvert element er en direkte analytisk fortsættelse af elementet gennem et domæne .
En ækvivalensrelation kan defineres mellem elementer baseret på begrebet analytisk fortsættelse. Vi vil overveje et element svarende til et element, hvis er en analytisk fortsættelse af . Det er let at bevise, at denne relation er en ækvivalensrelation. Ifølge denne ækvivalensrelation kan sættet af alle analytiske elementer opdeles i ækvivalensklasser. Disse samme ækvivalensklasser kaldes komplette analytiske funktioner. Lad os skrive en streng definition.
En komplet analytisk funktion af en kompleks variabel er et ikke-tomt sæt af analytiske elementer, således at for ethvert analytisk element fra sættet er alle de andre dets analytiske fortsættelse, og ethvert element, der er en analytisk fortsættelse , er inkluderet i dette sæt.
Analyticitet kan defineres på et eller andet område. En analytisk funktion i et domæne er et sæt analytiske elementer, således at:
Et element inkluderet i dette sæt kaldes et element i en analytisk funktion. Denne definition er identificeret med en funktion med flere værdier i følgende betydning. Værdien af en analytisk funktion i et punkt er værdien af alle funktioner af elementer på dette punkt, hvor punktet er inkluderet i det tilsvarende sæt.