Analyticitet af holomorfe funktioner

I kompleks analyse kaldes en funktion af en kompleks variabel $f$

holomorf på et tidspunkt, hvis den er differentierbar i et åbent kvarter $-en$
analytisk på et punkt, hvis der eksisterer et eller andet naboskab til punktet, hvor det falder sammen med en konvergent potensrække ${\textstyle a}$ $-en$ $f$

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n))

Et af de vigtigste resultater af kompleks analyse er teoremet om, at holomorfe funktioner er analytiske . Konsekvenser af denne teorem omfatter blandt andet følgende resultater:

unikhedsteorem: to holomorfe funktioner, hvis værdier falder sammen i hvert punkt i mængden (som har et grænsepunkt inden for skæringspunktet mellem funktionernes domæner) falder også sammen i enhver åben forbundet delmængde af deres domæner, der indeholder . $S$ $S$
da en potensrække er uendeligt differentierbar, er den tilsvarende holomorfe funktion også uendeligt differentierbar (i modsætning til tilfældet med en differentierbar reel funktion).
konvergensradius falder altid sammen med afstanden fra centrum a til nærmeste entalspunkt . Hvis der ikke er nogen (dvs. hvis er en hel funktion ), så er konvergensradius lig med uendelig. $f$
en hel holomorf funktion kan ikke være endelig, dvs. kan ikke som sin (kompakte) støtte have en forbundet åben delmængde af det komplekse plan .

Bevis

Beviset, først foreslået af Cauchy, er baseret på Cauchy-integralformlen og på en potensrækkeudvidelse af udtrykket

{\dfrac {1}{wz))

Lad betegne en åben disk centreret ved . Antag, at det er differentierbart overalt i et åbent kvarter til lukningen . Lad betegne en positivt orienteret cirkel, der er grænsen for , og lad en være et punkt i . Med udgangspunkt i Cauchy-integralformlen kan man skrive $D$ $-en$ $f$ $D$ $C$ $D$ $z$ $D$

{\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over wz}\,\mathrm {d} w\ \[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)-(za)}\,\mathrm {d} w\\[10pt ]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over wa}\cdot {1 \over 1-{za \over wa}}f(w)\,\mathrm { d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over wa}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\ venstre({za \over wa}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty } {1 \over 2\pi i}\int _{C}{(za)^{n} \over (wa)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end {aligned}}

Permutationen af integrationen og uendelig sum operationer er gyldig, da udtrykket er begrænset af en positiv konstant for enhver på , mens uligheden $M$ $w$ $C$

$\left|{\frac {za}{wa}}\right|\leq r<1$

gælder også for nogle positive . På denne måde $C$ $r$

$\left|{(za)^{n} \over (wa)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n}$

på . Serien konvergerer ensartet efter Weierstrass-konvergenskriteriet , hvilket betyder, at fortegnene for summen og integralet kan omarrangeres. $C$ $C$

Da udtrykket ikke afhænger af variablen, kan det tages ud af integraltegnet: ${\displaystyle (za)^{n))$

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(za)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1}}\,\mathrm {d} w

Udvidelsen af funktionen tager således den ønskede form af en potensrække fra : $f$ $z$

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n))

med koefficienter

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1))\,\mathrm {d} w.

Noter

Da potensrækker kan differentieres led for led, kan ovenstående ræsonnement anvendes omvendt til serieudvidelsen af udtrykket

{\displaystyle {\frac {1}{(wz)^{n+1))))

, dermed opnå

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1}}\,dw.$

Dette er Cauchys integralformel for derivater. Således er ovenstående potensrækker Taylor-serien af funktionen .

f

Beviset er kun gyldigt, hvis punktet er tættere på midten af disken end et hvilket som helst enkelt punkt . Derfor kan konvergensradius for Taylor-serien ikke være mindre end afstanden fra til funktionens nærmeste entalspunkt. (Naturligvis kan radius heller ikke være større end denne afstand, da potensrækken ikke har nogen enkeltpunkter inden for deres konvergensradius.) $z$ $-en$ $D$ $f$ $-en$
Et særtilfælde af identitetssætningen Den foregående bemærkning antyder et særtilfælde af sætningen om det unikke ved en holomorf funktion. Hvis to holomorfe funktioner falder sammen på et (muligvis meget lille) åbent kvarter af punktet , så falder de også sammen på den åbne skive , hvor er afstanden fra til det nærmeste entalspunkt. $U$ $-en$ $B_{d}(a)$ $d$ $-en$