Fuld multiple

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Et fuldt multiplum er et positivt heltal , der er deleligt med kvadratet af hver af dets primtal divisorer .

Tilsvarende definition: et tal, der kan repræsenteres som , hvor og er positive heltal ( naturlige tal ). ${\displaystyle a^{2}b^{3))$ $-en$ $b$

Fuld multipla studeres systematisk af Pal Erdős og György Székeres , navnet givet af Solomon Golomb .

Liste over fulde multipla mellem 1 og 1000 [1] :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 2, 2, 21 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648. , 968, 972, 1000.

Ækvivalens mellem to definitioner

Hvis , så en prime i nedbrydningen vises to gange, og elementet kommer ind mindst tre gange; således at ethvert primtal i nedbrydningen i det mindste indgår i kvadratet . ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$ $-en$ $b$ $m$

På den anden side, lad være et fuldt multiplum tal med nedbrydning $m$

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i))

hvor hver . Vi definerer lig med tre, hvis ulige, og nul ellers, og definerer . Så er alle værdier ikke-negative lige heltal, og alle værdier er enten nul eller tre, så: $\alpha _{i}\geq 2$ ${\displaystyle \gamma _{i))$ $\alpha_i$ ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i))$ $\beta _{i}$ ${\displaystyle \gamma _{i))$

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i)))(\prod p_{i}^{\gamma _{i)))=(\prod p_{i}^{\ beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

giver den ønskede repræsentation som produktet af en firkant og en terning. $m$

Med andre ord, for en given udvidelse kan tal tages som produktet af primfaktorer inkluderet i udvidelsen med ulige potenser (hvis der ikke er nogen, så 1). Da er et fuldt multiplum, har hver primfaktor inkluderet i faktoriseringen med en ulige grad en grad på mindst 3, så det er et heltal. Nu har hver primfaktor en lige grad, så er et perfekt kvadrat, lad os betegne det som ; og det viser sig . For eksempel: $m$ $b$ $m$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ $a^2$ ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$

{\displaystyle m=21600=2^{5}\ gange 3^{3}\ gange 5^{2))

b=2\ gange 3=6

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3))))={\sqrt {2^{2}\ gange 5^{2))}=10

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\ gange 6^{3}

Matematiske egenskaber

Summen af de reciproke af fulde multipler konvergerer:

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)

hvor er omgår alle primtal , er Riemann zeta-funktionen og er Apérys konstant (Golomb, 1970). $s$ $\zeta (s)$ $\zeta (3)$

Lad betegne antallet af fulde multiple tal i intervallet . Derefter proportional med kvadratroden af . Mere præcist: $k(x)$ $[1,x]$ $k(x)$ $x$

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2.173\cdots

[2] .

De to mindste på hinanden følgende fulde multipla er 8 og 9. Da Pells ligning har et uendeligt antal løsninger, er der også et uendeligt antal par af på hinanden følgende fulde multipler [2] ; Mere generelt kan man finde på hinanden følgende fulde multipla ved at finde en løsning på en ligning svarende til Pells ligning for enhver terning . Et af de fulde multipla af det således opnåede par skal dog være et kvadrat. Ifølge Gay spurgte Erdős, om der er uendeligt mange par af fulde multiple tal, der ligner , hvor ingen af tallene i parret er en firkant. Yaroslav Vroblevsky viste, at der tværtimod er uendeligt mange sådanne par, hvilket viser, at han har uendeligt mange løsninger. $x^{2}-8y^{2}=1$ $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ $n$ $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$ $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$

Ifølge Erdős-Mollin-Walsh-formodningen er der ikke tre på hinanden følgende fulde multiplum.

Summer og forskelle af fulde multipler

Ethvert ulige tal kan repræsenteres som forskellen mellem to på hinanden følgende kvadrater:

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Højrepil (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1

På samme måde kan ethvert tal, der er et multiplum af fire, repræsenteres som forskellen mellem to tal, der adskiller sig med to: . Et tal, der er deleligt med to, men ikke med fire, kan dog ikke repræsenteres som en forskel af kvadrater, det vil sige, at spørgsmålet opstår: hvilke lige tal, der ikke er delelige med 4, kan repræsenteres som forskellen mellem to fulde multiple tal. $(k+2)^{2}-k^{2}=4k+4$

Golomb gav flere sådanne repræsentationer:

2 = 3 3 − 5 2 10 = 13 3 − 3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).

Først blev der lavet en formodning om, at tallet 6 ikke kan repræsenteres i denne form, og Golomb foreslog, at der er uendeligt mange heltal, der ikke kan repræsenteres som forskellen mellem to fulde multiple tal. Narkiwicz opdagede dog, at der er uendeligt mange måder at repræsentere tallet 6 på, som f.eks.

6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,

og McDaniel [3] viste, at ethvert tal har et uendeligt antal af sådanne repræsentationer.

Erdős formodede, at ethvert tilstrækkeligt stort heltal er summen af højst tre fulde multipler. Formodningen blev bevist af Roger Heath-Brown [4] .

Generalisering

$k$ -fuldstændige tal - tal i dekomponeringen af hvilke primtal forekommer med en grad på mindst . $k$

${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k))$ , , er -fulde multipla i aritmetisk progression . ${\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k))$ $(2^{k+1}-1)^{k+1}$ $k$

Desuden, hvis er -fulde multipler i aritmetisk progression med forskel , så: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s))$ $k$ $d$

(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{ k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}

er -komplette tal i aritmetisk progression. $k$

For - hele flere tal har vi: $k$

a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^ {k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}

Denne lighed giver uendeligt mange sæt længder - fulde multipla af tal, hvis summer også er - fulde multipla. Nitaj [5] viste, at der er uendeligt mange løsninger af ligningen blandt coprime 3-komplette tal. Cohn [6] konstruerede en uendelig familie af løsninger til ligningen blandt coprime 3-fulde multipla: det tredobbelte $l+1$ $k$ $k$ $x+y=z$ $x+y=z$

X=9712247684771506604963490444281

Y=32295800804958334401937923416351

Z=27474621855216870941749052236511

er en løsning på ligningen . Det er muligt at konstruere en anden løsning ved at tilføje og fjerne en fælles divisor. $32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}$ $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3} -49Y^{3})$

Noter

↑ OEIS -sekvens A001694 _
↑ 12 Golomb , 1970 .
↑ McDaniel, 1982 .
↑ Heath-Brown, 1988 .
↑ Nitaj, 1995 .
↑ Cohn, 1998 .

Litteratur

Cohn, JHE En formodning om Erdős om 3-kraftige tal // Matematik. Comp. - 1998. - T. 67 , no. 221 . - S. 439-440 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
Pal Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. sci. Szeged. - 1934. - Nr. 7 . - S. 95-102 .
Solomon W. Golomb. Kraftige tal // American Mathematical Monthly . - 1970. - T. 77 , nr. 8 . - S. 848-852 . - doi : 10.2307/2317020 . — .
Richard K Guy. Afsnit B16 // Uløste problemer i talteori, 3. udgave. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Roger Heath Brown. Ternære kvadratiske former og summer af tre kvadrat-fulde tal. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 137-163. — (Seminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
Roger Heath Brown. Summer af tre kvadrat-fulde tal. — Colloq. Matematik. soc. Janos Bolyai, nej. 51, 1990. - S. 163-171. — (Talteori, I (Budapest, 1987)).
Wayne L. McDaniel. Repræsentationer af hvert heltal som forskellen mellem kraftige tal // Fibonacci Quarterly . - 1982. - Nr. 20 . - S. 85-87 .
Abderrahman Nitaj. På en formodning om Erdős om 3-kraftige numre // Bull. London matematik. soc. . - 1995. - V. 4 , nr. 27 . - S. 317-318 . - doi : 10.1112/blms/27.4.317 .

Links

Weisstein , Eric W. Kraftfuldt nummer hos Wolfram MathWorld .
Abc-formodningen

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer