Et fuldt multiplum er et positivt heltal , der er deleligt med kvadratet af hver af dets primtal divisorer .
Tilsvarende definition: et tal, der kan repræsenteres som , hvor og er positive heltal ( naturlige tal ).
Fuld multipla studeres systematisk af Pal Erdős og György Székeres , navnet givet af Solomon Golomb .
Liste over fulde multipla mellem 1 og 1000 [1] :
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 2, 2, 21 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648. , 968, 972, 1000.Hvis , så en prime i nedbrydningen vises to gange, og elementet kommer ind mindst tre gange; således at ethvert primtal i nedbrydningen i det mindste indgår i kvadratet .
På den anden side, lad være et fuldt multiplum tal med nedbrydning
,hvor hver . Vi definerer lig med tre, hvis ulige, og nul ellers, og definerer . Så er alle værdier ikke-negative lige heltal, og alle værdier er enten nul eller tre, så:
giver den ønskede repræsentation som produktet af en firkant og en terning.
Med andre ord, for en given udvidelse kan tal tages som produktet af primfaktorer inkluderet i udvidelsen med ulige potenser (hvis der ikke er nogen, så 1). Da er et fuldt multiplum, har hver primfaktor inkluderet i faktoriseringen med en ulige grad en grad på mindst 3, så det er et heltal. Nu har hver primfaktor en lige grad, så er et perfekt kvadrat, lad os betegne det som ; og det viser sig . For eksempel:
, , , .Summen af de reciproke af fulde multipler konvergerer:
,hvor er omgår alle primtal , er Riemann zeta-funktionen og er Apérys konstant (Golomb, 1970).
Lad betegne antallet af fulde multiple tal i intervallet . Derefter proportional med kvadratroden af . Mere præcist:
[2] .De to mindste på hinanden følgende fulde multipla er 8 og 9. Da Pells ligning har et uendeligt antal løsninger, er der også et uendeligt antal par af på hinanden følgende fulde multipler [2] ; Mere generelt kan man finde på hinanden følgende fulde multipla ved at finde en løsning på en ligning svarende til Pells ligning for enhver terning . Et af de fulde multipla af det således opnåede par skal dog være et kvadrat. Ifølge Gay spurgte Erdős, om der er uendeligt mange par af fulde multiple tal, der ligner , hvor ingen af tallene i parret er en firkant. Yaroslav Vroblevsky viste, at der tværtimod er uendeligt mange sådanne par, hvilket viser, at han har uendeligt mange løsninger.
Ifølge Erdős-Mollin-Walsh-formodningen er der ikke tre på hinanden følgende fulde multiplum.
Ethvert ulige tal kan repræsenteres som forskellen mellem to på hinanden følgende kvadrater:
.På samme måde kan ethvert tal, der er et multiplum af fire, repræsenteres som forskellen mellem to tal, der adskiller sig med to: . Et tal, der er deleligt med to, men ikke med fire, kan dog ikke repræsenteres som en forskel af kvadrater, det vil sige, at spørgsmålet opstår: hvilke lige tal, der ikke er delelige med 4, kan repræsenteres som forskellen mellem to fulde multiple tal.
Golomb gav flere sådanne repræsentationer:
2 = 3 3 − 5 2 10 = 13 3 − 3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).Først blev der lavet en formodning om, at tallet 6 ikke kan repræsenteres i denne form, og Golomb foreslog, at der er uendeligt mange heltal, der ikke kan repræsenteres som forskellen mellem to fulde multiple tal. Narkiwicz opdagede dog, at der er uendeligt mange måder at repræsentere tallet 6 på, som f.eks.
6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,og McDaniel [3] viste, at ethvert tal har et uendeligt antal af sådanne repræsentationer.
Erdős formodede, at ethvert tilstrækkeligt stort heltal er summen af højst tre fulde multipler. Formodningen blev bevist af Roger Heath-Brown [4] .
-fuldstændige tal - tal i dekomponeringen af hvilke primtal forekommer med en grad på mindst .
, , er -fulde multipla i aritmetisk progression .
Desuden, hvis er -fulde multipler i aritmetisk progression med forskel , så:
er -komplette tal i aritmetisk progression.
For - hele flere tal har vi:
.Denne lighed giver uendeligt mange sæt længder - fulde multipla af tal, hvis summer også er - fulde multipla. Nitaj [5] viste, at der er uendeligt mange løsninger af ligningen blandt coprime 3-komplette tal. Cohn [6] konstruerede en uendelig familie af løsninger til ligningen blandt coprime 3-fulde multipla: det tredobbelte
, ,er en løsning på ligningen . Det er muligt at konstruere en anden løsning ved at tilføje og fjerne en fælles divisor.
Tal efter delelighedskarakteristika | ||
---|---|---|
Generel information | ||
Faktoriseringsformer | ||
Med begrænsede divisorer |
| |
Tal med mange divisorer | ||
Relateret til aliquot -sekvenser |
| |
Andet |
|