Matrix eksponent

Matrixeksponenten er en matrixfunktion af en kvadratisk matrix , svarende til den sædvanlige eksponentialfunktion . Matrixeksponenten etablerer en forbindelse mellem Lie-algebraen af matricer og den tilsvarende Lie-gruppe .

For en reel eller kompleks matrix af størrelse er eksponenten for , betegnet som eller , den matrix, der er defineret af potensrækken : $x$ $n\ gange n$ $x$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\ gange n$

e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

hvor er matricens k'te potens . Denne serie konvergerer altid, så eksponenten af er altid veldefineret. $X^{k}$ $x$ $x$

Hvis er en matrix af størrelse , så er matrixeksponenten af en matrix af størrelse , hvis eneste element er lig med den sædvanlige eksponent for et enkelt element . $x$ $1 gange 1$ $x$ $1 gange 1$ $x$

Egenskaber

Grundlæggende egenskaber

For komplekse matricer og størrelse , vilkårlige komplekse tal og , identitetsmatrix og nulmatrix , har eksponenten følgende egenskaber: $x$ $Y$ $n\ gange n$ $-en$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
hvis , så ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
hvis er en ikke-singular matrix , så . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , hvor betegner den transponerede matrix for , derfor følger det, at hvis er symmetrisk , så er den også symmetrisk, og hvis er en skæv-symmetrisk matrix , så er den ortogonal ; $X^{{\mathrm T}}$ $x$ $x$ $\exp X$ $x$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , hvor betegner den hermitiske konjugerede matrix for , derfor følger det, at hvis er en hermitisk matrix , så er den også hermitisk, og hvis er en anti -hermitisk matrix , så er den ensartet . $X^{*}$ $x$ $x$ $\exp X$ $x$ $\exp X$

Systemer af lineære differentialligninger

En af grundene til, at matrixeksponenten er vigtig, er, at den kan bruges til at løse systemer af almindelige differentialligninger [1] . Systemløsning:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

hvor er en konstant matrix, er givet ved: $EN$

y(t)=e^{At}y_{0}.

Matrixeksponenten kan også bruges til at løse inhomogene ligninger af formen

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

Der er ikke noget lukket analytisk udtryk for løsninger af ikke-autonome differentialligninger af formen

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

hvor er ikke en konstant, men Magnus-udvidelsen gør det muligt at opnå en repræsentation af løsningen som en uendelig sum. $EN$

Sum eksponent

For alle to reelle tal (skalarer), og eksponentialfunktionen opfylder ligningen , gælder den samme egenskab for symmetriske matricer - hvis matricerne og pendler (dvs. ), så . Men for ikke-pendlende matricer er denne lighed ikke altid sand; i det generelle tilfælde bruges Baker-Campbell-Hausdorff-formlen til beregning . $x$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $x$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

I det generelle tilfælde indebærer ligheden ikke det og pendler. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $x$ $Y$

For hermitiske matricer er der to bemærkelsesværdige teoremer relateret til sporet af matrixeksponenter.

The Golden-Thompson ulighed

Hvis og er hermitiske matricer, så [2] : $EN$ $H$

\operatørnavn {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatørnavn {tr}(\exp(A)\exp(H))

hvor er sporet af matrixen . Kommutativitet er ikke påkrævet for at denne erklæring holder. Der er modeksempler, der viser, at Golden-Thompson-uligheden ikke kan udvides til tre matricer og ikke altid er et reelt tal for de hermitiske matricer , og . $\operatørnavn {tr}X$ $x$ $\operatørnavn {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $EN$ $B$ $C$

Liebs sætning

Liebs teorem, opkaldt efter Elliott Lieb , siger, at for en fast hermitisk matrix er funktionen: $H$

f(A)=\operatørnavn {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

er konkav på keglen af positiv-definite matricer [3] .

Eksponentiel mapping

Eksponenten af en matrix er altid en ikke -singular matrix . Det omvendte af matricen er , hvilket er analogt med, at eksponenten af et komplekst tal aldrig er nul. Så matrixeksponenten definerer afbildningen: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

fra rummet af alle matricer af dimension til den fulde lineære gruppe af orden , det vil sige gruppen af alle ikke-degenererede matricer af dimension . Denne kortlægning er en surjektion , det vil sige, at enhver ikke-singular matrix kan skrives som en eksponent for en anden matrix (for at dette kan finde sted, er det nødvendigt at overveje feltet af komplekse tal , ikke reelle tal ). $n\ gange n$ $n$ $n\ gange n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

For alle to matricer og vi har uligheden $x$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

hvor angiver en vilkårlig matrixnorm . Det følger heraf, at den eksponentielle afbildning er kontinuerlig og Lipschitz på kompakte delmængder . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Skærm:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

definerer en glat kurve i den generelle lineære gruppe, der passerer gennem identitetselementet ved . $t = 0$

Ansøgninger

Lineære differentialligninger

Et eksempel på et homogent system

Til systemet:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix))

dens matrix er:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Det kan vises, at eksponenten af matricen er $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+ 1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,

så den generelle løsning på dette system er:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatrix}}~.

Et eksempel på et inhomogent system

For at løse et inhomogent system:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{matrix}}

notationer introduceres:

A=\venstre[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Da summen af den generelle løsning af en homogen ligning og en bestemt løsning giver den generelle løsning af en inhomogen ligning, er det kun tilbage at finde en bestemt løsning. Fordi:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

hvor er starttilstanden. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Generalisering: variation af en vilkårlig konstant

I tilfælde af et inhomogent system kan metoden til variation af en vilkårlig konstant anvendes. Vi leder efter en bestemt løsning i form af : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {aligned}}

For en løsning skal følgende ske: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

På denne måde:

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

hvor bestemmes ud fra problemets begyndelsesbetingelser. ${\mathbf {c}}$

Se også

Trigonometriske funktioner fra en matrix

Noter

↑ Piskunov H. S. Differential- og integralregning for højere uddannelsesinstitutioner, bind 2 .: Lærebog for højere uddannelsesinstitutioner. - 13. udgave - M . : Nauka, Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1985. - S. 544-547. — 560 s.
↑ Bhatia, R. Matrixanalyse (uspecificeret) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Kandidattekster i matematik). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Konvekse sporfunktioner og Wigner-Yanase-Dyson-formodningen // Adv . Matematik. : journal. - 1973. - Bd. 11 , nr. 3 . - S. 267-288 . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .